函数单调性问题

1. 函数单调性问题

令x=0，y=0，得到f(0)+f(0)=f[(0+0)/1],所以f(0)=0.再证明奇偶性：令y=-x,f(x)+f(-x)=f[(x-x)/(1+x*x)]=f(0)=0,所以f(x)=f(-x).函数为奇函数。最后证明单调性：令x1>x2,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f[(x1-x2)/(1+x1*x2)]   因为x1>x2,s所以x1-x2>0  又因为x1,x2∈(-1,1),所以1+x1*x2>0    所以(x1-x2)/(1+x1*x2)>0   由题意可知f[(x1-x2)/(1+x1*x2)]>0  即f(x1)-f(x2)>0 所以是单调增函数

2. 怎样利用单调性解决函数问题

关于单调性
1·利用单调性 可以判断某段函数在定义域内的 极大值极小值 
2·还可以解决一部分 证明不等式的 问题 
3·另外就是 单调性 直接和倒数有很大的关系 所以在一些导数的问题里面 单调性的判断也是不可缺少的 
...
暂时只能想这么多了 不过希望楼主可以 好好理解一下单调性 所有的函数问题都离不了它最本质的问题 做完题后要好好思考...

3. 函数的单调性问题

一楼的方法可能他自己都做不出来
应该用导数的方法
f(x)=x-2/x+a（2-lnx）=x-2/x+2a-alnx（x>0)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=（x^2+2-ax)/x^2
已知x^2>0所以只需讨论x^2+2-ax即可
x^2+2-ax为二次函数
令g(x)=x^2+2-ax
当△==0恒成立，f'(x)>=0也恒成立，此时0<a=<√8
所以当0<a=<√8时，函数单调递增区间为（0，+∞）
当△>0时两根为x=√(a^2/4-2)±1/2a,此时，a>√8
因为a>√8，所以函数g(x)=x^2+2-ax的对称轴>0
且g(0)=2>0,所以x=√(a^2/4-2)±1/2a两根都可以取到
所以当a>√8时
函数单调递增区间为(0 ，√(a^2/4-2)-1/2a）和（√(a^2/4-2)+1/2a , +∞） 
单调递减区间为[√(a^2/4-2)-1/2a , √(a^2/4-2)+1/2a ]

4. 函数单调性问题

你好，你取的例子有问题，比如x1=-2,x2=1,满足x1x2^2不单调
这是通过紧扣定义证明f(x)=x^2是增函数的一种方法 因为x1<x2而x1,x2是任意的所以可以说“随着x的增大，相应 f(x)也随着增大”符合定义描述
不这样也有其他方法
可以通过函数的性质来判断，比如f(x)=x^2关于y轴对称，是一个偶函数，而它在（0，正无穷）单调增，所以在在（负无穷，0）单调减
也可以通过求导来计算的，求出函数的导函数f'(x)，若f'(x)>0则单调增，若f'(x)<0则单调减。

5. 函数单调性的问题

x^2+1＞0
x^2＞-1
∴x属于R
∵根号（x^2+1）＞x
∴f（x）属于(0,＋∝)

6. 函数单调性问题

f(x)=(ax+a-a-1)/(x+1)
=a(x+1)/(x+1)-(a+1)/(x+1)
=a-(a+1)/(x+1)
x<-1是减函数
则-(a+1)/(x+1)是减函数
所以(a+1)/(x+1)是增函数
则系数是负数
a<-1

7. 函数单调性问题

解：定义域分段考虑
①当x≥-a时，f(x)=x^2+ax,递增区间为[-a/2,+∞)，x定义域应在此区间内，故
            -a≥-a/2，求得a≤0
②当x＜-a时，f(x)=-x^2-ax，递增区间为(-∞,-a/2]，x定义域应在此区间内，故 
            -a≤-a/2，求得a≥0
综上所述，a=0

8. 函数的单调性问题

f(x)+f(y)=f(xy)
所以f(x+6)+f(x)=f[x(x+6)]=f(x²+6x)
2f(4)=f(4)+f(4)=f(16)
f(x²+6x)<f(16)
增函数，且定义域是x>0
所以0<x²+6x<16
且x+6>0,x>0
则x>0

0<x²+6x
x(x+6)>0
x0

x²+6x<16
x²+6x-16=(x+8)(x-2)<0
-8<x<2

综上
0<x<2