三角形的定义和性质

1. 三角形的定义和性质

2. 三角形的性质是什么

1、三角形的内角和等于180°（内角和定理）；
2、三角形的外角和等于360° (外角和定理)；
3、三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、一个三角形的3个内角中最少有2个锐角。
5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
7、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 

，那么这个三角形是直角三角形。
8、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
9、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
10、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
11、等底同高的三角形面积相等。
12、底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
13、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
14、等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
15、在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。
16、在斜△ABC中恒满足tanA tanB tanC=tanA+tanB+tanC。
17、△ABC中恒有 

18、三角形具有稳定性。

3. 三角形的性质是什么？

4. 三角形的几个性质

1、1 ；根号下3；2模式三角形 1所对的角是30度，根号下3所对角是60度
2、在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
3、等腰三角形性质：
1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”） 　　
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”） 　　
3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 　　
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 　　
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 　　
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 　　
7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，正三角形有三条对称轴。

5. 三角形性质是什么？

三角形的性质是：
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

三角形的特点：
1、相似三角形对应边成比例，对应角相等。
2、相似三角形对应边的比叫做相似比。
3、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
4、相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）之比等于相似比。

6. 三角形的基本性质是什么？

三角形基本概念与性质：
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形（人教版教材）.常见的三角形按边分有等腰三角形（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）、不等腰三角形；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

1、三角形的边、角关系
(1)三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
(2)三角形的内角和等于180°，外角和等于360°；
(3)三角形的任一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

2、三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.
(1)内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等；
(2)外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等；
(3)三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

3、等腰三角形性质：
(1)两底角相等(等边对等角)；
(2)顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
(3)等边三角形的各角都相等，且都等于60°。
判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。

4、多边形的内角和等于

多边形的外角和等于360°

7. 三角形的性质

三角形的性质

 1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。 

2.三角形内角和等于180度 

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 

5.三角形共有六心：

三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线

 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 

性质：到三边距离相等。 

外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 

性质：到三个顶点距离相等。 

重心：三条中线的交点。 

性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。 

垂心：三条高所在直线的交点。 

性质：此点分每条高线的两部分乘积 

旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点 

性质：到三边的距离相等。 

界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。 

性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。

 欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 

6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。

 7.一个三角形最少有2个锐角。 

8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 

9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。 

10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a?+b?=c? 那么这个三角形就一定是直角三角形。 

    三角形的边角之间的关系 

（1）三角形三内角和等于180°； 

（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； 

（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 

（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 

（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. 

（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. 

（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. 

（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. 

（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 

（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 

（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。 

注意：

①三角形的内心、重心都在三角形的内部 

.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。 

③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）

④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。

8. 三角形的性质有哪些

1)重心分中线成两段,它们的长度比为2:1. 
2)三条中线将三角形分成六个小块,六个小块面积相等,也就是说重心和三顶点的连线,将三角形的面积三等分.[证明: 用等底等高的三角形面积相等.高2倍底一倍的三角形面积等于高一倍底2倍的三角形面积] 
2)材质均匀的三角形物体,他的重心就在几何重心上.也就是说,你可以从重心穿过一条线,手提这条线,而三角形物体保持水平.
三角形的五心 
一 定理 
重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的 
离是它到对边中点距离的2倍。该点叫做三角形的重心。 
外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 
垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。 
内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 
旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。它们都是三角形的重要相关点。 
上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现，欧几里得除垂心定理外，均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里，但后来关于三角形这些特殊相关点的诸多研究及由此得出的许多著名结论表明，遗漏垂心定理不能不算是《几何原本》作者的一个疏忽。这些性质都是可以直接用的啊