梯形ABCD中，AD平行BC，角BAD=90°，角D=45°，EF是CD的垂直平分线，垂足为E，EF与AD相交于M,

1. 梯形ABCD中，AD平行BC，角BAD=90°，角D=45°，EF是CD的垂直平分线，垂足为E，EF与AD相交于M,

把CM连起来。因为EF是CD的垂直平分线，而M在EF上，
∴△CMD为等腰三角形   CM=CD，∠D=∠MCD=45°
平行线的性质，得出，∠DCB=180°-∠D=135°
所以，这时候求得∠MCB=135°-45°=90°
而∠B=90°，所以，平行四边形CBAM是矩形，则，AB=CM
而CM=MD,所以DM=AB
∠D=45°，所以，∠DME=∠MED-∠D=90°-45°=45°
则∠DME的对角∠FMA=45°
∠BAM=90°，∴∠F=∠BAM-∠FMA=45°=∠FMA
∴AF=AM
∴AF+AB=AM+DM
即BF=AD

2. 梯形ABCD中，AD平行于BC，EF经过梯形对角线的 交点，且EF平行于AD。（1）...

你的表述需要改进一下，得交待O、E、F的位置。我猜想是这样的：O为AC与BD的交点，E、F分别在AB、CD上。
若是这样，则方法如下：
第一个问题：
∵EO∥AD、AD∥BC，∴EO∥BC，∴△AEO∽△ABC，∴OE/BC＝AO/AC。
∵OF∥AD、AD∥BC，∴OF∥BC，∴△DOF∽△DBC，∴OF/BC＝DO/BD。
∵AD∥BC，∴AO/CO＝DO/BO，由合比定理，有：AO/（AO＋CO）＝DO/（DO＋BO），
∴AO/AC＝DO/BD。
由OE/BC＝AO/CO、OF/BC＝DO/BO、AO/CO＝DO/BO，得：OE/BC＝OF/BC，∴OE＝OF。

第二个问题：
∵EO∥AD，∴△BEO∽△BAD，∴OE/AD＝BO/BD。
结合第一个问题中证得的OF/BC＝DO/BD，得：OE/AD＋OF/BC＝（BO＋DO）/BD＝1。
即：OE/AD＋OF/BC 的值为1。

第三个问题：
由第一个问题的结论，有：OE＝OF，由第二个问题的结论，有：OE/AD＋OF/BC＝1。
∴（OE/AD＋OF/AD）＋（OE/BC＋OF/BC）＝2，∴EF/AD＝EF/BC＝2，
∴1/AD＋1/BC＝2/EF。

注：若你所表述的情况不是这样的（即O、E、F在其它位置），则请你补充说明。

3. 已知直角梯形ABCD中,AD‖BC,角ABC=90°,点E在AB上，点F在AD的延长线上，且CD垂直平分EF，交EF于G

根据题意，图形如上。
 
但根据图形和已知条件，无法证明结论。
 
请审核原题，追问时补充完整，谢谢！

4. 在梯形ABCD中，AD平行BC,E,F分别是对角线BD,AC的中点，AD＝22,BC＝38,求EF.

解：将EF向两边延长交AB于点G，交CD于点H，
因为E,F分别是对角线BD,AC的中点，
则EF∥BC，
又因为四边形ABCD为梯形，
则EF∥BC∥AD，
则G、H分别为AB、CD的中点，
因为AD=22cm,BC=38cm,
则GH=（22
38）/2=30,
又因为GE、FH分别都等于1/2AD，
则EF=30-1/2*22-1/2*22=8cm,
即EF等于8cm.

5. 在梯形ABCD中，AD平行BC，对角线AC、BD相交于点O，AD=2，BC=BD=3,AC=4

(1)由 AD//BC知AO/OC=OD/OB=AD/BC=2/3
∴BO/AC=OC/BD=3/5
BO=9/5  OC=12/5
∴BO²+OC²=(9/5)²+(12/5)²= 3²  ∵BC=3
∴BO²+OC²=BC²
∴⊿BOC为直角三角形  AC⊥BD
(2)AO/OC=2/3
    AO=2/3*12/5=8/5
   S△AOB=1/2AO*BO=1/2*8/5*9/5=36/25

6. 梯形ABCD中,AD平行BC,E.F是对角线BD.AC的中点。求证;EF等于二分之一[BC乘AD]

你的题目写错了，应该是EF=1/2  |（BC-AD）|
证明:如图,作AB的中点G,DC的中点H,连接GH
(1)因为GH为梯形中位线，所以GH//AD//BC，
（2）因为GH//BC，在三角形ADC中，H是DC的中点，所以GH是三角形ADC的中位线，与AC的交点必定是AC的中点，即F点，同理GH与BD的交点是E，即GEFH共线。
（3）GF=1/2BC，GE=1/2AD，所以EF=GF-GE=1/2（BC-AD）（当BC.>AD时)
(4)同理可证,当BC<=AD时,EF=1/2(AD-BC)
所以得证.

7. 梯形ABCD中，AB平行于CD,AD=DC=BC,角DAB=60度，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上一点，且EB垂直于A

第一个问题：
分别过C、D作AB的垂线，垂足分别为G、H。
∵AD＝BC、DC∥AB，∴ABCD是以AD、BC为腰的等腰梯形，∴∠DAB＝∠CBA＝60°。
∵DC∥HG、CG⊥HG、DH⊥HG，∴CDHG是矩形，∴DC＝HG。
∵AD＝BC、∠DAH＝∠CBG＝60°、∠AHD＝∠BGC＝90°，∴AH＝BG＝BC/2＝DC/2。
∴AB＝AH＋HG＋BG＝DC/2＋DC＋DC/2＝2DC＝2BC。

∵AB＝2BC、∠ABC＝60°，∴AC⊥BC，∴BC⊥CE。
∵BE⊥AB、∠ABC＝60°，∴∠CBE＝30°，又BC⊥CE，∴BC＝√3CE＝√3。
∴S(△BCE)＝（1/2）CE×BC＝（1/2）×1×√3＝√3/2。

第二个问题：
在AE上取点O，使OE＝BE。
∵BC⊥CE、∠CBE＝30°，∴∠BED＝60°，又OE＝BE，∴△BOE是等边三角形，
∴BO＝BE、∠BOE＝60°。

∵AB⊥BE、∠AEB＝60°，∴∠BAE＝30°，又∠BAD＝60°，∴AE是∠BAF的平分线，
而BE⊥AB、EF⊥AF，∴由角平分线性质，有：EF＝BE＝BO。

由三角形外角定理，有：∠BOE＝∠BAO＋∠ABO，而∠BOE＝60°、∠BAO＝30°，
∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝∠ABO，∴AO＝BO＝EF。
∵△BOE是等边三角形，又BC⊥OE，∴OC＝CE，∴AC＝AO＋OC＝EF＋CE。

8. 在梯形ABCD中,AD平行BC,角B=90度,角C=45度,AD=1.BC=4,E为AB中点,EF平行DC交F,求EF长

∵DC//EF,∠C=45°
∴∠EFB=45°
∵∠B=90°
∴∠BEF=45°
∴△EBF为等腰直角三角形
过D点做DG⊥BC于G
∴四边形ABGD为矩形
∴AD=BG=1
∵BC=4
∴GC=3
∵∠DCG=45°,∠DGC=90°
∴DG=GC=3
∴AB=3
∴EB=3/2
∴BF=3/2
∴EF=√(3/2)² (3/2)²
         =√9/4 9/4
         =√18/4
         =√9/2
         =3√2/2(二分之三倍根二)