动态规划算法详解

1. 动态规划算法详解

动态规划一般也只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似)。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。
  
 将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解（这部分与分治法相似）。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。通常可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
  
 问题的一个最优解中所包含的子问题的解也是最优的。总问题包含很多个子问题，而这些子问题的解也是最优的。
  
 用递归算法对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。
  
 ：很显然，这道题的对应的数学表达式是
  
 其中F(1)=1, F(2)=2。很自然的状况是，采用递归函数来求解：
  
 参考：
    http://blog.csdn.net/zmazon/article/details/8247015 
    http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/41548557 
    http://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6110269 
    http://blog.csdn.net/trochiluses/article/details/37966729