急需 数学建模论文 ...快来帮我啊 ！！！
2024-05-06 22:20
1. 急需 数学建模论文 ...快来帮我啊 ！！！
数学建模论文
题 目 生活中的数学建模问题
学 院
专业班级
学生姓名
成 绩
年 月 日
摘要 钢铁、煤炭、水电等生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送
方案使利润最大？各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等的限制，如何相互搭配装载，使获利最高？若干项任务分给一些候选人来完成，因为每个人的专长不同，他们完成任务的效益就不一样，如何分派使获得的总效益最大？本文将通过以下的例子讨论用数学建模解决这些问题的方法。
关键词：获利最多，0-1变量
一． 自来水输送问题
问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A，B，C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为80，50，10，20千吨，但由于水源紧张，三个水库每天 只能分别供应60，70，40千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费用不同（见下表），其他管理费用都是400元每千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准950元每千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为10，20，30，50千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利更多？
引水管理费（元每千吨） 甲 乙 丙 丁
A 160 130 220 170
B 140 130 190 150
C 190 200 230 ----
问题分析
分配供水两就是安排从三个水库向四个区供水的方案，目标是获利最多，而从题目给出的数据看，A，B，C三个水可的供水量170千吨，不够四个区的基本生活用水量与额外用水量之和270千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是950*（60+70+40）=161500元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费为400*（60+70+40）=68000元也与送水方案无关。所以要是利润最大，只须是引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水可的供水量和四个取得需求量的限制。
模型建立
决策变量为A、B、C、三个水库（i=1,2,3）分别向甲、乙、丙、丁四个小区（j=1,2,3,4）的供水量。设水库i向j的日供水量为xij。由于C水库鱼定去之间没有输水管道，即X34=0，因此只有11个决策变量。
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有
min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;
约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为
x11+x12+x13+x14=60;
x21+x22+x23+x24=70;
x31+x32+x33=40;
考虑到歌曲的基本用水量月外用水量，需求量限制可以表示为
80<=x21+x11+x31;
50<=x12+x22+x32;
10<=x13+x23+x33;
20<=x14+x24;
x21+x11+x31<=90;
x12+x22+x32<=70;
x13+x23+x33<=40;
x14+x24<=70;
模型求解
将以上式子，输入LINGO求解，得到如下输出：
Optimal solution found at step: 10
Objective value: 25800.00
Variable Value Reduced Cost
X11 0.0000000 20.00000
X12 60.00000 0.0000000
X13 0.0000000 40.00000
X14 0.0000000 20.00000
X21 50.00000 0.0000000
X22 0.0000000 0.0000000
X23 0.0000000 10.00000
X24 20.00000 0.0000000
X31 30.00000 0.0000000
X32 0.0000000 20.00000
X33 10.00000 0.0000000
送水方案为：A水库向乙区供水60千吨，B水库甲区、丁区分别供水50，20千吨，C水库向甲、丙分别供水30，10千吨。引水管理费为25800元，利润为161500-68000-25800=67700元。
二． 货机装运
问题 某架火机油三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物最大量的体积都有限，如下表所示，并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中世纪装在货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
前舱 中舱 后舱
重量限制（吨） 15 26 12
体积限制（立方米） 8000 9000 6000
现有四类货物供该伙计本次飞行装运，其有关信息如下表所示，最后一列之装运后所获得的利润。应如何安排装运，使货机本次飞行获利最大？
重量（吨） 空间 利润（元每千吨）
货物1 20 480 3500
货物2 18 650 4000
货物3 35 600 3500
货物4 15 390 3000
模型假设 问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可以作如下假设：
（1） 每种货物可以分割到任意小；
（2） 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；
（3） 多种货物可以混装，并保证不留空隙。
模型建立
决策变量：用Xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1，2，3分别表示前舱、中舱、后舱。
决策目标是最大化利润，即
max=3500*(x11+x12+x13)+4000*(x21+x22+x23)+3500*(x31+x32+x33)+3000*(x41+x42+x43);
约束条件包括以下4个方面：
（1）供装载的四种货物的总重量约束，即
x11+x12+x13<=20;
x21+x22+x23<=18;
x31+x32+x33<=35;
x41+x42+x43<=15;
（2）三个货舱的重量限制，即
x11+x21+x31+x41<=15;
x12+x22+x32+x42<=26;
x13+x23+x33+x43<=12;
（3）三个货舱的空间限制，即
480*x11+650*x21+600*x31+390*x41<=8000;
480*x12+650*x22+600*x32+390*x42<=9000;
480*x13+650*x23+600*x33+390*x43<=6000;
（4）三个货舱装入重量的平衡约束，即
(x11+x21+x31+x41)/15=(x12+x22+x32+x42)/26;
(x12+x22+x32+x42)/26=(x13+x23+x33+x43)/12;
模型求解
将以上模型输入LINGO求解，可以得到：
Optimal solution found at step: 10
Objective value: 155340.1
Variable Value Reduced Cost
X11 0.5055147 0.0000000
X12 6.562500 0.0000000
X13 2.286953 0.0000000
X21 11.93439 0.0000000
X22 0.0000000 2526.843
X23 6.065611 0.0000000
X31 0.0000000 0.4547474E-12
X32 0.0000000 1783.654
X33 1.599359 0.0000000
X41 0.0000000 1337.740
X42 15.00000 0.0000000
X43 0.0000000 1337.740
实际上，不妨将所得最优解四舍五入，结果为货物1装入前舱1吨、装入中舱7吨、装入后舱2吨；货物2装入前舱12吨、后舱6吨；货物3装入后舱2吨；货物4装入中舱15吨。最大利润为155340元。
三． 混合泳接力队的选拔
问题 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4*100m混合泳接力比赛。5名队员4中用字的百米平均成绩如下表所示，问应如何让选拔队员组成接力队？
甲 乙 丙 丁 戊
蝶泳 1`06 57``2 1`18 1`10 1`07
仰泳 1`15 1`06 1`07 1`14 1`11
蛙泳 1`27 1`06 1`24 1`09 1`23
自由泳 58``6 53`` 59``4 57``2 1`02
问题分析 从5名队员中选出4人组成接力队，没人一种泳姿，且4人的用字各不相同，是接力队的成绩最好。容易想到的一个办法是穷举法，组成接力对的方案共有5！=120中，一一计算并作比较，即可找出最优方案。显然这不是解决这类问题的好办法，随着问题规模的变大，穷举法的计算量将是无法接受的。
可以用0-1变量表示以讴歌队员是非入选接力队，从而建立这个问题的0-1规划模型，借助县城的数学软件求解。
模型的建立与求解
设甲乙丙丁戊分别为队员i=1，2，3，4，5；即蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1，2，3，4.记队员i的第j中用字的百米最好成绩为Cij（s），既有
Cij I=1 I=2 I=3 I=4 I=5
J=1 66 57.2 78 70 67
J=2 75 66 67 74 71
J=3 87 66 84 69 83
J=4 58 53 59 57.2 62
引入0-1变量Xij，若选择队员i参加泳姿j的比赛，记Xij-=1，否则记Xij=0.根据组成接力队的要求，Xij应该满足两个约束条件：
第一， 没人最多只能入选4中用字之一，记对于i=1，2，3，4，5，应有∑Xij《=1；
第二， 每种泳姿必须有一人而且只能有1人入选，记对于甲，2，3，4，应有∑Xij=1；
当队员i入选泳姿j是，CijXij表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力队的成绩可表示为∑∑CijXij，这就是该题的目标函数。
将题目所给的数据带入这一模型，并输入LINGO：
min=66*x11+75*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66*x23+53*x24+78*x31+67*x32+84*x33+59.4*x34+70*x41+74*x42+69*x43+57.2*x44+67*x51+71*x52+83*x53+62*x54;
SUBJECT TO
x11+x12+x13+x14<=1;
x21+x22+x23+x24<=1;
x31+x32+x33+x34<=1;
x41+x42+x43+x44<=1;
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+X53=1;
x14+x24+x34+x44+X54=1;
@bin(X11);@bin(X12);@bin(X13);@bin(X14);@bin(X21);@bin(X22);@bin(X23);@bin(X24);@bin(X31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X34);@bin(X41);@bin(X42);@bin(X43);@bin(X44);@bin(X51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X54);
得到如下结果
Optimal solution found at step: 12
Objective value: 251.8000
Branch count: 0
Variable Value Reduced Cost
X11 0.0000000 66.00000
X12 0.0000000 75.00000
X13 0.0000000 87.00000
X14 1.000000 58.60000
X21 1.000000 57.20000
X22 0.0000000 66.00000
X23 0.0000000 66.00000
X24 0.0000000 53.00000
X31 0.0000000 78.00000
X32 1.000000 67.00000
X33 0.0000000 84.00000
X34 0.0000000 59.40000
X41 0.0000000 70.00000
X42 0.0000000 74.00000
X43 1.000000 69.00000
X44 0.0000000 57.20000
X51 0.0000000 67.00000
X52 0.0000000 71.00000
X53 0.0000000 83.00000
X54 0.0000000 62.00000
2. 数学建模论文求助！！！
据我参加数学建模的一些经验： 1.数学建模考的是“耐心”+“信心”+“恒心”+"信息检索能力"+“自学能力”。 2.对于写论文,数学建模有基本的格式（但不是前篇一律）“问题重述+假设检验+模型构建+模型求解+模型评价与改进+参考文献+附录”（“高教社杯”国家赛有一个不成文的规律，想获奖至少10篇参考文献，最好是实引用，就是指文中注出”本文侥幸获了国家一等，呵呵）。最好下几篇国赛一等奖的文章，品读几篇，“数学中国网站”有很多，可以经常逛逛！ 3.耐心，就是第一天拿到题目没有思路时，不要急，我们那次是第二天傍晚才决定方向写什么。信心，就是相信自己，我一定行，勇敢往前冲；恒心，就是要坚持，国赛3天，美赛4天，最后一天是最难的，一般在最后一天都通宵（通读论文，一字一字的该），还有问题也可联系我，呵呵，祝好运 4."信息检索能力"就是要学会“百度+Google+......."很多优秀的模型可以不是自己的，但不是照抄，要学会自学并引用。
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数学建模--教学楼人员疏散--获校数学建模二等
数学建模
人员疏散
本题是由我和我的好哥们张勇还有我们区队的学委谢菲菲经过数个日夜的精心准备而完成的,指导老师沈聪.
摘要
文章分析了大型建筑物内人员疏散的特点，结合我校1号教学楼的设定火灾场景人员的安全疏散，对该建筑物火灾中人员疏散的设计方案做出了初步评价，得出了一种在人流密度较大的建筑物内，火灾中人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法，并提出了采用距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程来分析和计算建筑物的人员疏散。
关键字
人员疏散 流体模型 距离控制疏散过程
问题的提出
教学楼人员疏散时间预测
学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，而且具有较大的火灾荷载和较多的起火因素，一旦发生火灾，火灾及其烟气蔓延很快，容易造成严重的人员伤亡。对于不同类型的建筑物，人员疏散问题的处理办法有较大的区别，结合1号教学楼的结构形式，对教学楼的典型的火灾场景作了分析，分析该建筑物中人员疏散设计的现状，提出一种人员疏散的基础，并对学校领导提出有益的见解建议。
前言
建筑物发生火灾后，人员安全疏散与人员的生命安全直接相关，疏散保证其中的人员及时疏散到安全地带具有重要意义。火灾中人员能否安全疏散主要取决于疏散到安全区域所用时间的长短，火灾中的人员安全疏散指的是在火灾烟气尚未达到对人员构成危险的状态之前,将建筑物内的所有人员安全地疏散到安全区域的行动。人员疏散时间在考虑建筑物结构和人员距离安全区域的远近等环境因素的同时，还必须综合考虑处于火灾的紧急情况下，人员自然状况和人员心理这是一个涉及建筑物结构、火灾发展过程和人员行为三种基本因素的复杂问题。
随着性能化安全疏散设计技术的发展，世界各国都相继开展了疏散安全评估技术的开发及研究工作，并取得了一定的成果(模型和程序)，如英国的CRISP、EXODUS、STEPS、Simulex，美国的ELVAC、EVACNET4、EXIT89，HAZARDI，澳大利亚的EGRESSPRO、FIREWIND，加拿大的FIERA system和日本的EVACS等，我国建筑、消防科研及教学单位也已开展了此项研究工作，并且相关的研究列入了国家“九五”及“十五”科技攻关课题。
一般地，疏散评估方法由火灾中烟气的性状预测和疏散预测两部分组成，烟气性状预测就是预测烟气对疏散人员会造成影响的时间。众多火灾案例表明，火灾烟气毒性、缺氧使人窒息以及辐射热是致人伤亡的主要因素。
其中烟气毒性是火灾中影响人员安全疏散和造成人员死亡的最主要因素，也就是造成火灾危险的主要因素。研究表明：人员在CO浓度为4X10-3浓度下暴露30分钟会致死。
此外，缺氧窒息和辐射热也是致人死亡的主要因素，研究表明：空气中氧气的正常值为21％，当氧气含量降低到12％～15％时，便会造成呼吸急促、头痛、眩晕和困乏，当氧气含量低到6％～8％时，便会使人虚脱甚至死亡；人体在短时间可承受的最大辐射热为2.5kW／m2(烟气层温度约为200℃)。
图1 疏散影响因素
预测烟气对安全疏散的影响成为安全疏散评估的一部分，该部分应考虑烟气控制设备的性能以及墙和开口部对烟的影响等；通过危险来临时间和疏散所需时间的对比来评估疏散设计方案的合理性和疏散的安全性。疏散所需时间小于危险来临时间，则疏散是安全的，疏散设计方案可行；反之，疏散是不安全的，疏散设计应加以修改，并再评估。
图2 人员疏散与烟层下降关系(两层区域模型)示意图
疏散所需时间包括了疏散开始时间和疏散行动时间。疏散开始时间即从起火到开始疏散的时间，它大体可分为感知时间(从起火至人感知火的时间)和疏散准备时间(从感知火至开始疏散时间)两阶段。一般地，疏散开始时间与火灾探测系统、报警系统，起火场所、人员相对位置，疏散人员状态及状况、建筑物形状及管理状况，疏散诱导手段等因素有关。
疏散行动时间即从疏散开始至疏散结束的时间，它由步行时间(从最远疏散点至安全出口步行所需的时间)和出口通过排队时间(计算区域人员全部从出口通过所需的时间)构成。与疏散行动时间预测相关的参数及其关系见图3。
图3 与疏散行动时间预测相关的参数及其关系
模型的分析与建立
我们将人群在1号教学楼内的走动模拟成水在管道内的流动，对人员的个体特性没有考虑，而是将人群的疏散作为一个整体运动处理，并对人员疏散过程作了如下保守假设：
u 疏散人员具有相同的特征，且均具有足够的身体条件疏散到安全地点；
u 疏散人员是清醒状态，在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散，且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；
u 在疏散过程中，人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配，即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配
u 人员从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变。
以上假设是人员疏散的一种理想状态，与人员疏散的实际过程可能存在一定的差别，为了弥补疏散过程中的一些不确定性因素的影响，在采用该模型进行人员疏散的计算时，通常保守地考虑一个安全系数，一般取1．5～2，即实际疏散时间为计算疏散时间乘以安全系数后的数值。
1号教学楼平面图
教学楼模型的简化与计算假设
我校1号教学楼为一幢分为A、B两座，中间连接着C座的建筑（如上图），A、B两座为五层，C座为两层。A、B座每层有若干教室，除A座四楼和B座五楼，其它每层都有两个大教室。C座一层即为大厅，C座二层为几个办公室，人员极少故忽略不考虑，只作为一条人员通道。为了重点分析人员疏散情况，现将A、B座每层楼的10个小教室（40人）、一个中教室（100）和一个大教室（240人）简化为6个教室。
图4 原教室平面简图
在走廊通道的1/2处，将1、2、3、4、5号教室简化为13、14号教室，将6、7、8、9、10号教室简化为15、16号教室。此时，13、14、15、16号教室所容纳的人数均为100人，教室的出口为距走廊通道两边的1/4处，且11、13、15号教室的出口距左楼梯的距离相等，12、14、16号教室的出口距右楼梯的距离相等。我们设大教室靠近大教室出口的100人走左楼梯，其余的140人从大教室楼外的楼梯疏散，这样让每一个通道的出口都得到了利用。由于1号教学楼的A、B两座楼的对称性，所以此简图的建立同时适用于1号教学楼A、B两座楼的任意楼层。
图5 简化后教室平面简图
经测量，走廊的总长度为44米，走廊宽为1.8米,单级楼梯的宽度为0.3米,每级楼梯共有26级,楼梯口宽2.0米,每间教室的面积为125平方米. 则简化后走廊的1/4处即为教室的出口，距楼梯的距离应为44/4=11米。
对火灾场景做出如下假设:
u 火灾发生在第二层的15号教室;
u 发生火灾是每个教室都为满人,这样这层楼共有600人;
u 教学楼内安装有集中火灾报警系统,但没有应急广播系统;
u 从起火时刻起,在10分钟内还没有撤离起火楼层为逃生失败;
对于这种场景下的火灾发展与烟气蔓延过程可用一些模拟程序进行计算,并据此确定楼内危险状况到来的时间.但是为了突出重点,这里不详细讨论计算细节.
人员的整个疏散时间可分为疏散前的滞后时间,疏散中通过某距离的时间及在某些重要出口的等待时间三部分,根据建筑物的结构特点,可将人们的疏散通道分成若干个小段。在某些小段的出口处,人群通过时可能需要一定的排队时间。于是第i 个人的疏散时间ti 可表示为:
式中, ti,delay为疏散前的滞后时间,包括觉察火灾和确认火灾所用的时间; di,n为第n 段的长度; vi,n 为该人在第n 段的平均行走速度;Δtm,queue 为第n 段出口处的排队等候时间。最后一个离开教学楼的人员所有用的时间就是教学楼人员疏散所需的疏散时间。
假设二层的15号教室是起火房间,其中的人员直接获得火灾迹象进而马上疏散,设其反应的滞后时间为60s;教学内的人员大部分是学生,火灾信息将传播的很快,因而同楼层的其他教室的人员会得到15号教室人员的警告,开始决定疏散行动.设这种信息传播的时间为120s,即这批人的总的滞后时间为120+60=180秒;因为左右两侧为对称状态,所以在这里我们就计算一面的.一、三、四、五层的人员将通过火灾报警系统的警告而开始进行疏散,他们得到火灾信息的时间又比二层内的其他教室的人员晚了60秒.因此其总反应延迟为240秒.由于火灾发生在二楼,其对一层人员构成的危险相对较小,故下面重点讨论二,三,四,五楼的人员疏散.
为了实际了解教学楼内人员行走的状况,本组专门进行了几次现场观察,具体记录了学生通过一些典型路段的时间。参考一些其它资料[1、2、3] ,提出人员疏散的主要参数可用图6 表示。在开始疏散时算起,某人在教室内的逗留时间视为其排队时间。人的行走速度应根据不同的人流密度选取。当人流密度大于1 人/ m2时,采用0. 6m/ s 的疏散速度,通过走廊所需时间为60s ,通过大厅所需时间为12s ;当人流密度小于1 人/m2 时,疏散速度取为1. 2m/ s ,通过走廊所需时间为30s ,通过大厅所需时间为6s。
图6 人员疏散的若干主要参数
Pauls[4]提出,下楼梯的人员流量f 与楼梯的有效宽度w 和使用楼梯的人数p 有关,其计算公式为:
式中,流量f 的单位为人/ s , w 的单位为mm。此公式的应用范围为0. 1 < p/ w < 0. 55 。
这样便可以通过流量和室内人数来计算出疏散所用时间。出口的有效宽度是从通道的实际宽度里减去其两侧边界层而得到的净宽度,通常通道一侧的边界层被设定为150mm。
3 结果与讨论
在整个疏散过程中会出现如下几种情况:
(1) 起火教室的人员刚开始进行疏散时,人流密度比较小,疏散空间相对于正在进行疏散的人群来说是比较宽敞的,此时决定疏散的关键因素是疏散路径的长度。现将这种类型的疏散过程定义为是距离控制疏散过程;
(2) 起火楼层中其它教室的人员可较快获得火灾信息,并决定进行疏散,他们的整个疏散过程可能会分成两个阶段来进行计算: 当f进入2层楼梯口流出2层楼梯口时, 这时的疏散就属于距离控制疏散过程;当f进入2层楼梯口> f流出2层楼梯口时, 二楼楼梯间的宽度便成为疏散过程中控制因素。现将这种过程定义为瓶颈控制疏散过程;
(3) 三、四层人员开始疏散以后,可能会使三楼楼梯间和二楼楼梯间成为瓶颈控制疏散过程;
(4) 一楼教室人员开始疏散时,可能引起一楼大厅出口的瓶颈控制疏散过程;
(5) 在疏散后期,等待疏散的人员相对于疏散通道来说,将会满足距离控制疏散过程的条件,即又会出现距离控制疏散过程。
起火教室内的人员密度为100/ 125 = 0.8 人/m2 。然而教室里还有很多的桌椅,因此人员行动不是十分方便,参考表1 给出的数据,将室内人员的行走速度为1.1m/ s。设教室的门宽为1. 80m。而在疏散过程中,这个宽度不可能完全利用,它的等效宽度,等于此宽度上减去0. 30m。则从教室中出来的人员流量f0为:
f0=v0×s0×w0=1.1×0.8×4.7=4.1(人/ s) (3)
式中, v0 和s0 分别为人员在教室中行走速度和人员密度, w0 为教室出口的有效宽度。按此速度计算,起火教室里的人员要在24.3s 内才能完全疏散完毕。
设人员按照4.1 人/ s 的流量进入走廊。由于走廊里的人流密度不到1 人/ m2 ,因此采用1. 2m/s的速度进行计算。可得人员到达二楼楼梯口的时间为9.2s。在此阶段, 将要使用二楼楼梯的人数为100人。此时p/ w=100/1700=0.059 < 0. 1 , 因而不能使用公式2 来计算楼梯的流量。采用Fruin[5]提出的人均占用楼梯面积来计算通过楼梯的流量。根据进入楼梯间的人数,取楼梯中单位宽度的人流量为0.5人 /(m. s) ,人的平均速度为0. 6m/ s ,则下一层楼的楼梯的时间为13s。这样从着火时刻算起,在第106.5s(60+24.3+9.2+13)时,着火的15号教室人员疏散成功。以上这些数据都是在距离控制疏散过程范围之内得出的。
起火后120s ,起火楼层其它两个教室（即11和13号教室）里的人员开始疏散。在进入该层楼梯间之前,疏散的主要参数和起火教室中的人员的情况基本一致。在129.2s他们中有人到达二层楼梯口,起火教室里的人员已经全部撤离二楼大厅。因此,即将使用二楼楼梯间的人数p1 为:
p1 = 100 ×2 = 200 (人) (4)
此时f进入2层楼梯口>f流出2层楼梯口,从该时刻起,疏散过程由距离控制疏散过渡到由二楼楼梯间瓶颈控制疏散阶段。由于p/ w =200/1700= 0.12 ,可以使用公式2 计算二楼楼梯口的疏散流量f1 , 即:
?/P>
0.27
0.73
f1 = (3400/ 8040) × 200 = 2.2人/ s) (5)
式中的3400 为两个楼梯口的总有效宽度,单位是mm。而三、四层的人员在起火后180s 时才开始疏散。三层人员在286.5s(180+106.5)时到达二层楼梯口,与此同时四层人员到达三层楼梯口,第五层到达第四层楼梯口。此时刻二层楼梯前尚等待疏散人员数p′1:
p′1 = 200 - (286.5 – 129.2) ×2.2 = -146.1(人) <0 (6)
所以，二层楼的人员已经全部到达一层
此后,需要使用二层楼梯间的人数p2 :
p2 = 100×3=300 (人) (7)
相应此阶段通过二楼楼梯间的流量f 2 :
0.27
0.73
f2 = (3400/8040) × 200 = 2.5(人/ s) (8)
这┤送ü楼楼梯的疏散时间t1 :
t1 = 300÷2.5 = 120 ( s) (9)
因为教学楼三、四、五层的结构相同，所以五层到四层，四层到三层和三层到二层所用的时间相等，因此人员的疏散在楼梯口不会出现瓶颈现象
所以,通过二楼楼梯的总体疏散时间T :
T = 286.5+ 120×3 = 646.5 ( s) (10)
最终根据安全系数得出实际疏散时间为T实际:
T实际 =646.5×(1.5～2)=969.75～1293( s) （11）
图7 二楼楼梯口流量随时间的变化曲线图
关于几点补充说明：
以上是我们只对B座二楼的15号教室起火进行的假设分析和计算，此时当人员到达一楼即视为疏散成功。同理，当三楼起火的时候，人员到达二楼即视为疏散成功，四楼、五楼以此类推。因为1号教学楼A、B座结构的对称性所以楼层的其他教室起火与此是同一个道理。所以本文上述的分析与计算同时适用于A、B两座楼。另外当三层以上（包括三楼）起火的时候，便体现出C座二楼的作用。当B座的三楼起火的时候，B座二楼的人员肯定是在B座三楼人员后对起火做出应对反应，所以会出现当三楼人员疏散到二楼的时候，二楼的人员也开始疏散的情况，势必造成二楼楼梯口出现瓶颈现象。因为A、B座的三、四、五楼并没有连接，都是独立的结构，出现火灾不会直接从B座的三楼威胁到A座三楼及其他楼层人员的安全，所以为了避免上述二楼楼梯口出现瓶颈现象的发生，我们让二楼的所有人员向A座的二楼转移，这样就会让起火楼层的人员能够更快的疏散到安全区域。当B座的四、五楼起火的时候也同样让二楼的人员向A座的二楼转移，为二楼以上的人员疏散创造条件。同理，A座也是如此。
在对火灾假设分析和计算的时候，我们并没有对大教室的后门楼梯的疏散做出计算，由于1号教学楼的特殊性，A座的四楼和B座的五楼没有大教室，所以大教室的后门楼梯疏散人员的速度是很快的，不会在大教室后门的楼梯出现瓶颈现象。
关于1号教学楼的几个出口：
u 大厅有一个大门
u A座一楼靠近正厅有一个门
u A座大教室旁边有一个门
u B座中教室靠近大厅正门侧面的窗户可以作为一个应急出口
u A、B座的底层都有一个地下室（当烟气蔓延太快来不及疏散，受烟气威胁的时候可以作为一个逃生去向）
u A、B座大教室各有一个后门
合计： 8个出口
致校领导的一封信
尊敬的校领导，你们好。
针对我校1号教学楼，我们数学建模小组通过实际测量、建立模型、模型分析，得出如下结论：一旦1号教学楼发生火灾，人员有可能不能全部安全疏散。
以上的分析是按一种很理想的条件进行的,并没有进行任何修正。实际上人在火灾中的行为是很复杂的,尤其是没有经过火灾安全训练的人,可能会出现盲目乱跑、逆向行走等现象,而这也会延长总的疏散时间。
该模型在现阶段是一个人员疏散分析模型的基础,目前属于理论上的模型,以上的计算结果都是通过手算或文曲星计算得到的。模型中的人员行走速度是通过多次观察该教学楼内下课时人员的行走速度和参照Fru2in 给出的疏散时人员行走速度、NFPA 中给出的人员行走速度以及目前人员疏散模型中通用的计算速度等修正而得到的,具有较为广泛的通用性。而预测的疏散时间是根据建筑物的结构特点和人员行走速度而得到的,在计算疏散所用时间的时候在剔除疏散前人员的滞后时间(或称预移动时间) 外,所得到的时间是合理的。对于疏散前人员的滞后时间,参考T. J . Shields 等试验结论:75 %人员在听到火灾警报后的15～40 s 才开始移动,而整个疏散所用的时间为646.5 s。在该例中起火教室的反应滞后时间为60 s ,这是从开始着火时刻算起的。预移动时间与不同类型的建筑物、建筑物中人员的自身特点和建筑物中的报警系统有着很大的关系,它是一个很不确定的数值。本文中所用的预移动时间不到整个疏散过程中所用的时间的 10 %。二楼楼梯口流量随时间的变化曲线如图7所示。由上可知,二层以上的所有人通过二楼楼梯所需的时间为646.5 s ,这比前面设定的可用安全疏散时间要长,因而不能保证有关人员全部安全疏散出去。楼梯的宽度和大厅的正门显然是制约人员疏散的一个瓶颈。造成这种情况的基本原因是该教学楼的疏散通道安排不当，楼梯通道的宽度不够,对此可以适当增大楼梯的总宽度；或者在教学楼的每个分支上再修一个楼梯,则人员的疏散会更加的畅通；最好是分别在A座和B座新建一个象正门一样的出口，这样将大大的缓解了大厅正门疏散人员的压力，不至于造成大厅人员堵塞而影响楼上人员的疏散。另一方面，学校还应多增加一些消防设施，每个教室都该配备灭火器；学校还应加强学生消防意识的培养和教育，形式可以多样化、新颖化，比如做报告，上实践课，做消防演习等等。让他们了解一些消防逃生的常识，学会一些消防器材的使用，并让他们对自己所使用的教学楼有充分发认识和了解，一旦发生火灾好知道采取何种疏散方法才能在最短的时间内到达安全区域。
如果学校经费有限，也可以不花一分钱就可以消除这个消防隐患，就是合理安排上课的教室，避免每个楼层的所有教室都被用于上课。每层至少可以空出几个，这样就会大大的缓解人员疏散不利带来的危险。但是这样也有弊端，就是没有充分利用教室的使用价值，浪费资源。 (非原创，望采纳。。)
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数学建模论文
题 目 生活中的数学建模问题
学 院
专业班级
学生姓名
成 绩
年 月 日
摘要 钢铁、煤炭、水电等生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送
方案使利润最大？各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等的限制，如何相互搭配装载，使获利最高？若干项任务分给一些候选人来完成，因为每个人的专长不同，他们完成任务的效益就不一样，如何分派使获得的总效益最大？本文将通过以下的例子讨论用数学建模解决这些问题的方法。
关键词：获利最多，0-1变量
一． 自来水输送问题
问题 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A，B，C三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水量分别为80，50，10，20千吨，但由于水源紧张，三个水库每天 只能分别供应60，70，40千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费用不同（见下表），其他管理费用都是400元每千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准950元每千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为10，20，30，50千吨。该公司应如何分配供水量，才能获利更多？
引水管理费（元每千吨） 甲 乙 丙 丁
A 160 130 220 170
B 140 130 190 150
C 190 200 230 ----
问题分析
分配供水两就是安排从三个水库向四个区供水的方案，目标是获利最多，而从题目给出的数据看，A，B，C三个水可的供水量170千吨，不够四个区的基本生活用水量与额外用水量之和270千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收入是950*（60+70+40）=161500元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费为400*（60+70+40）=68000元也与送水方案无关。所以要是利润最大，只须是引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水可的供水量和四个取得需求量的限制。
模型建立
决策变量为A、B、C、三个水库（i=1,2,3）分别向甲、乙、丙、丁四个小区（j=1,2,3,4）的供水量。设水库i向j的日供水量为xij。由于C水库鱼定去之间没有输水管道，即X34=0，因此只有11个决策变量。
由上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水管理费最少，于是有
min=160*x11+130*x12+220*x13+170*x14+140*x21+130*x22+190*x23+150*x24+190*x31+200*x32+230*x33;
约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。由于供水量总能卖出并获利，水库的供应量限制可以表示为
x11+x12+x13+x14=60;
x21+x22+x23+x24=70;
x31+x32+x33=40;
考虑到歌曲的基本用水量月外用水量，需求量限制可以表示为
80<=x21+x11+x31;
50<=x12+x22+x32;
10<=x13+x23+x33;
20<=x14+x24;
x21+x11+x31<=90;
x12+x22+x32<=70;
x13+x23+x33<=40;
x14+x24<=70;
模型求解
将以上式子，输入LINGO求解，得到如下输出：
Optimal solution found at step: 10
Objective value: 25800.00
Variable Value Reduced Cost
X11 0.0000000 20.00000
X12 60.00000 0.0000000
X13 0.0000000 40.00000
X14 0.0000000 20.00000
X21 50.00000 0.0000000
X22 0.0000000 0.0000000
X23 0.0000000 10.00000
X24 20.00000 0.0000000
X31 30.00000 0.0000000
X32 0.0000000 20.00000
X33 10.00000 0.0000000
送水方案为：A水库向乙区供水60千吨，B水库甲区、丁区分别供水50，20千吨，C水库向甲、丙分别供水30，10千吨。引水管理费为25800元，利润为161500-68000-25800=67700元。
二． 货机装运
问题 某架火机油三个货舱：前舱、中舱、后舱。三个货舱所能装载的货物最大量的体积都有限，如下表所示，并且，为了保持飞机的平衡，三个货舱中世纪装在货物的重量必须与其最大容许重量成比例。
前舱 中舱 后舱
重量限制（吨） 15 26 12
体积限制（立方米） 8000 9000 6000
现有四类货物供该伙计本次飞行装运，其有关信息如下表所示，最后一列之装运后所获得的利润。应如何安排装运，使货机本次飞行获利最大？
重量（吨） 空间 利润（元每千吨）
货物1 20 480 3500
货物2 18 650 4000
货物3 35 600 3500
货物4 15 390 3000
模型假设 问题中没有对货物装运提出其他要求，我们可以作如下假设：
（1） 每种货物可以分割到任意小；
（2） 每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；
（3） 多种货物可以混装，并保证不留空隙。
模型建立
决策变量：用Xij表示第i种货物装入第j个货舱的重量（吨），货舱j=1，2，3分别表示前舱、中舱、后舱。
决策目标是最大化利润，即
max=3500*(x11+x12+x13)+4000*(x21+x22+x23)+3500*(x31+x32+x33)+3000*(x41+x42+x43);
约束条件包括以下4个方面：
（1）供装载的四种货物的总重量约束，即
x11+x12+x13<=20;
x21+x22+x23<=18;
x31+x32+x33<=35;
x41+x42+x43<=15;
（2）三个货舱的重量限制，即
x11+x21+x31+x41<=15;
x12+x22+x32+x42<=26;
x13+x23+x33+x43<=12;
（3）三个货舱的空间限制，即
480*x11+650*x21+600*x31+390*x41<=8000;
480*x12+650*x22+600*x32+390*x42<=9000;
480*x13+650*x23+600*x33+390*x43<=6000;
（4）三个货舱装入重量的平衡约束，即
(x11+x21+x31+x41)/15=(x12+x22+x32+x42)/26;
(x12+x22+x32+x42)/26=(x13+x23+x33+x43)/12;
模型求解
将以上模型输入LINGO求解，可以得到：
Optimal solution found at step: 10
Objective value: 155340.1
Variable Value Reduced Cost
X11 0.5055147 0.0000000
X12 6.562500 0.0000000
X13 2.286953 0.0000000
X21 11.93439 0.0000000
X22 0.0000000 2526.843
X23 6.065611 0.0000000
X31 0.0000000 0.4547474E-12
X32 0.0000000 1783.654
X33 1.599359 0.0000000
X41 0.0000000 1337.740
X42 15.00000 0.0000000
X43 0.0000000 1337.740
实际上，不妨将所得最优解四舍五入，结果为货物1装入前舱1吨、装入中舱7吨、装入后舱2吨；货物2装入前舱12吨、后舱6吨；货物3装入后舱2吨；货物4装入中舱15吨。最大利润为155340元。
三． 混合泳接力队的选拔
问题 某班准备从5名游泳队员中选择4人组成接力队，参加学校的4*100m混合泳接力比赛。5名队员4中用字的百米平均成绩如下表所示，问应如何让选拔队员组成接力队？
甲 乙 丙 丁 戊
蝶泳 1`06 57``2 1`18 1`10 1`07
仰泳 1`15 1`06 1`07 1`14 1`11
蛙泳 1`27 1`06 1`24 1`09 1`23
自由泳 58``6 53`` 59``4 57``2 1`02
问题分析 从5名队员中选出4人组成接力队，没人一种泳姿，且4人的用字各不相同，是接力队的成绩最好。容易想到的一个办法是穷举法，组成接力对的方案共有5！=120中，一一计算并作比较，即可找出最优方案。显然这不是解决这类问题的好办法，随着问题规模的变大，穷举法的计算量将是无法接受的。
可以用0-1变量表示以讴歌队员是非入选接力队，从而建立这个问题的0-1规划模型，借助县城的数学软件求解。
模型的建立与求解
设甲乙丙丁戊分别为队员i=1，2，3，4，5；即蝶泳、仰泳、蛙泳、自由泳分别为泳姿j=1，2，3，4.记队员i的第j中用字的百米最好成绩为Cij（s），既有
Cij I=1 I=2 I=3 I=4 I=5
J=1 66 57.2 78 70 67
J=2 75 66 67 74 71
J=3 87 66 84 69 83
J=4 58 53 59 57.2 62
引入0-1变量Xij，若选择队员i参加泳姿j的比赛，记Xij-=1，否则记Xij=0.根据组成接力队的要求，Xij应该满足两个约束条件：
第一， 没人最多只能入选4中用字之一，记对于i=1，2，3，4，5，应有∑Xij《=1；
第二， 每种泳姿必须有一人而且只能有1人入选，记对于甲，2，3，4，应有∑Xij=1；
当队员i入选泳姿j是，CijXij表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力队的成绩可表示为∑∑CijXij，这就是该题的目标函数。
将题目所给的数据带入这一模型，并输入LINGO：
min=66*x11+75*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66*x23+53*x24+78*x31+67*x32+84*x33+59.4*x34+70*x41+74*x42+69*x43+57.2*x44+67*x51+71*x52+83*x53+62*x54;
SUBJECT TO
x11+x12+x13+x14<=1;
x21+x22+x23+x24<=1;
x31+x32+x33+x34<=1;
x41+x42+x43+x44<=1;
x11+x21+x31+x41+x51=1;
x12+x22+x32+x42+x52=1;
x13+x23+x33+x43+X53=1;
x14+x24+x34+x44+X54=1;
@bin(X11);@bin(X12);@bin(X13);@bin(X14);@bin(X21);@bin(X22);@bin(X23);@bin(X24);@bin(X31);@bin(X32);@bin(X33);@bin(X34);@bin(X41);@bin(X42);@bin(X43);@bin(X44);@bin(X51);@bin(X52);@bin(X53);@bin(X54);
得到如下结果
Optimal solution found at step: 12
Objective value: 251.8000
Branch count: 0
Variable Value Reduced Cost
X11 0.0000000 66.00000
X12 0.0000000 75.00000
X13 0.0000000 87.00000
X14 1.000000 58.60000
X21 1.000000 57.20000
X22 0.0000000 66.00000
X23 0.0000000 66.00000
X24 0.0000000 53.00000
X31 0.0000000 78.00000
X32 1.000000 67.00000
X33 0.0000000 84.00000
X34 0.0000000 59.40000
X41 0.0000000 70.00000
X42 0.0000000 74.00000
X43 1.000000 69.00000
X44 0.0000000 57.20000
X51 0.0000000 67.00000
X52 0.0000000 71.00000
X53 0.0000000 83.00000
X54 0.0000000 62.00000
即当派选甲乙丙丁4人组陈和积累对，分别参加自由泳、蝶泳、仰泳、蛙泳的比赛。
参考文献
数学模型（第三版） 姜启源著 高等教育出版社
5. 谁能给我发一个数学建模论文的优秀范文，谢谢！
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6. 初中数学建模论文的范文 急需！！！！！
摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。
关键词： Q值法 公平席位
问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34.
（1） 问20席该如何分配。
（2） 若增加21席又如何分配。
问题的分析：
一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：
某单位席位分配数 = 某单位总人数比例′总席位
如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这样最初学生人数及学生代表席位为
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 100 60 40 200
学生人数比例 100/200 60/200 40/200
席位分配 10 6 4 20
学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20
按惯例席位分配 10 6 4 20
（1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
二、学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有
系名 甲 乙 丙 总数
学生数 103 63 34 200
学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21
按惯例席位分配 11 7 3 21
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。要怎样才能公平呢，这时就要用数学建模要解决。
模型的建立：
假设由两个单位公平分配席位的情况，设
单位 人数 席位数 每席代表人数
单位A p1 n1
单位B p2 n2
要公平，应该有 = ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有
若 > ，则说明单位A 吃亏(即对单位A不公平 )
若 < ，则说明单位B 吃亏 (即对单位B不公平 )
因此可以考虑用算式 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为 n1 =n2 =10 ， p1 =120， p2=100， 算得 p=2
另两个单位的人数和席位为 n1 =n2 =10 ， p1 =1020，p2=1000, 算得 p=2
虽然在两种情况下都有p=2，但显然第二种情况比第一种公平。
下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公式：
若 则称 为对A的相对不公平值， 记为
若 则称 为对B的相对不公平值 ，记为
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。
确定分配方案：
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设 > ，即对单位A不公平，再分配一个席位时，关于 , 的关系可能有
1. > ,说明此一席给A后,对A还不公平;
2. < ,说明此一席给A后,对B还不公平,不公平值为
3. > ,说明此一席给B后,对A不公平,不公平值为
4. < ,不可能
上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配，但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的席位分配，若有
则增加的一席应给A ，反之应给B。对不等式 rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1)进行简单处理，可以得出对应不等式
引入公式
于是知道增加的席位分配可以由Qk的最大值决定，且它可以推广到多个组的一般情况。用Qk的最大值决定席位分配的方法称为Q值法。
对多个组（m个组）的席位分配Q值法可以描述为：
1．先计算每个组的Q值：
Qk , k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i组。
模型的求解：
先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了19席，具体为：
甲 10.815 n1 =10
乙 6.615 n2 =6
丙 3.570 n3 =3
对第20席的分配，计算Q值
Q1=1032/(10′11) = 96.45 ; Q2=632/(6′7)= 94.5; Q3 =342/(3′4)=96.33
因为Q1最大，因此第20席应该给甲系; 对第21席的分配，计算Q值
Q1=1032/(11′12)=80.37 ; Q2 =632/(6′7)=94.5; Q3 =342/(3′4)=96.33
因为Q3最大，因此第21席应该给丙系
（2）最后的席位分配为：甲 11席 乙 6席 丙 4席
结论：20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
若21席应该甲系11席、乙系6席，丙系4席
请采纳。
7. 各位高手能不能提供几篇数学建模的优秀论文？？非常谢谢！！
DVD租赁优化方案
西北工业大学王 颖 高德宏 施 恒
指导教师：孙浩
摘 要
线租赁是信息时代发展的必然趋势。在租赁过程中，网络经营者主要关注的预测、购买和分配。本文提出了简单随机抽样、分类预测和关联预测等三种方法进行需求预测。针对问题一，利用需求预测得到观看DVD的人数服从二项分布，并计算出多种可靠度下购买DVD 的数量 (见文中表2、表3). 以会员的最大满意度为目标函数，建立一个整数规划模型，得到问题二的分配方案，并计算出前30位会员的分配结果 (见文中表4). 在问题三中，我们考虑到60\%的会员由于两次租赁而导致可重复利用，因而，采用了两阶段购买的策略，在每个购买阶段都建立了双目标整数规划，从而得到的购买量比原来网站拥有量小，并且会员的满意度达到99.38%(见文中表6、表7). 文章最后还给出了考虑归还DVD周期的情形下购买与分配的模型。
一、问题的重述
这是一个在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。考虑以下问题：
1） 网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2） 题中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。
3） 假设题中表2DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4） 作为网站的经营管理人员，在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型进行解答。
二、模型假设及符号说明
1、模型的假设
（1） 以一个月为一个周期，考虑在一个周期内DVD的租赁情况；
（2） 一个周期结束，所租赁出的DVD全部归还网站，不影响下一个周期的租赁；
（3） 一个会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度；
（4） 会员只有在将第一次租赁的三张DVD还回网站之后，才能进行第二次租赁；
（5） 每个会员同一种DVD只租赁一次；
（6） DVD在租赁过程中无损坏；
2、符号说明
网站第 种DVD的购买量
会员租赁第 种DVD的概率
第 个会员是否租赁第 种DVD
第 个会员是否租赁到第 种DVD
第 会员对第 种DVD的偏爱程度
第 个会员租赁到第 种DVD的满意度
网站是否为第 个会员购买第 种DVD
三、问题的分析
问题一，要求网站提供的DVD能够满足他的会员至少有50%能够在一个月内看到该DVD，作为网站的经营者，考虑到利益的问题，因此希望购买到尽可能少的DVD 。根据历史数据，60%的会员每月租赁两次，即一部分DVD有一定的流通周期，我们在考虑模型的时候先不考虑时间问题，将DVD全都看作是一月被租赁一次，然后根据流通周期以及它被租赁的概率，将所计算的结果按一定的比例减小。
问题二，这是一个优化分配问题。根据各个会员对不同种DVD的偏爱程度，以及网站是否满足了他的要求，建立以满意度为目标的目标函数，在DVD数量有限的情况下，对其进行合理的分配，使目标函数达到最大值。
我们综合考虑问题一和问题二，在此基础上分析问题三。经营者要尽可能的减小成本，即每种DVD购买量尽可能的少的，同时，DVD的购买量要满足95%的会员在一个月内能够看到自己想看的DVD；要求会员的总体满意程度最大，也就是对确定数量的DVD进行优化分配。此问题为一个双目标规划，即要求各种DVD数目最小的情况下，尽可能的使总体满意度最大。
四、模型的建立及求解：
1、问题一模型的建立及求解
设随机变量
.
显然随机变量 服从两点分布，即
， （1）
其中 的取值见表1.
网站通过问卷调查，得到1,000位会员愿意观看5种DVD的人数，根据这些统计数据，我们可以得到网站会员租赁这些DVD的概率（频率是概率的近似值）。
表1 会员租赁5种DVD的概率
DVD名称 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
第 张DVD
被租赁的概率
设随机变量 ， ，即 表示100,000个会员中租赁第 张DVD的总数，由于 （ ）之间相对独立，也就是会员之间是否租赁该张DVD是相互独立的，因而 服从二项分布，即：
（2）
同时可以得到：
（3）
（4）
由于租赁的人数是随机的，因而为了满足至少50%的租赁会员看到DVD，网站应该准备的DVD的数量也是随机的，为此我们以它的数学期望为应该准备的DVD的数量，即：
（5）
如果以 为该种DVD的准备量，则我们可以得到满足至少50%的人看到该DVD的概率为：
(6)
其中约等式是由 中心极限定理得到。
为了提高满足至少50%的人看到该片的可靠度，我们需要改变提供的数量。设可以保证至少50%的人看到该片的可靠度为99%，即 ，由此可以得到 ，即:
（7）
（8）
同时，由于60%的会员每个月会租赁DVD两次，40%的会员每个月会租赁DVD一次，所以租赁两次的会员会将第一次租赁的DVD归还，这样就可以满足其他会员的租赁要求，但是因为该张DVD是被会员在一个月内第一次租赁，还是被会员在第二次租赁的情况是随机的，所以我们假设上述这两种情况是等可能的，所以该张DVD可以被再次利用的期望值为：
（9）
由此我们可以得出：只需要准备所需量的70%就可以满足题目中的要求。
综上所述，我们以99%的可靠度满足至少50%的租赁会员能够看到某种DVD所需要准备的该种DVD的数量为：
（10）
代入相关数据，我们可以得到为了保证至少50%的人一个月内看到该DVD，网站需要准备该DVD的张数（见表2）。
表2 网站为了保证至少50%的人一个月内看到该DVD需要准备的张数
名称
可靠度 张数 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
50% 7,000 3,500 1,750 875 350
70% 7,024 3,518 1,763 885 356
80% 7,038 3,529 1,771 890 360
99% 7,104 3,578 1,807 916 375
为了保证在三个月内使得95%的会员看到其所想要租赁的DVD，只需要提供一个月内使得95%的会员看到其想要租赁的DVD总量的 ，这是因为三个月内DVD的流通量相当于一个月内DVD流通了三个周期的量。因而以99％的可靠度使得三个月内95%的人看到该DVD，网站应准备的张数为：
（11）
代入相关数据，我们可以得到为了保证至少95%的人三个月内看到该DVD，网站需要准备该DVD的张数（见表3）。
表3 网站为了保证至少95%的人三个月内看到该DVD需要准备的张数
名称
可靠度 张数 DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5
50% 4,434 2,217 1,109 555 222
70% 4,449 2,228 1,117 560 226
80% 4,458 2,235 1,122 564 228
99% 4,499 2,266 1,144 580 238
2、问题二模型的建立及求解：
设 ，则对会员的分配矩阵为：
（12）
其中 为一维行向量，表示对第 个会员的DVD分配情况。
由题目中的表2，我们可以得到会员对DVD的偏爱程度矩阵为：
（13）
其中 表示第 个会员对第 张DVD的偏爱程度。 为一维行向量，表示第 个会员对各类DVD的偏爱程度。
由于 的数字越大，表示偏爱程度越小，同时会员得到该DVD的满意度越小，因而我们定义第 个会员对分配到第 张DVD的满意度为 ，即
（14）
则会员的满意度矩阵为
(15)
其中 为一维行向量，表示第 个会员对分配到各类DVD的满意度。因而，第 个会员对分配方案 的满意度为：
(16)
当第 个会员得到其偏爱程度为1、2和3的3张DVD时，他是最满意的，其满意度为 ，由此可以得到第 个会员的标准化满意度为：
(17)
为了使所有的会员获得最大的满意度，只要使他们的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为：
(18)
在分配的过程中，每种DVD分配给会员的总数不超过网站准备的总数，即： (19)
在一次分配中，每个会员获得3张DVD；如果不够3张就视为分给该会员0张DVD，即：
(20)
综合上述分析，可以得到该问题的模型为：
(21)
根据上述模型，我们使用Lingo软件进行求解，结果如下：
目标函数的最大值为89.13％；
没有得到DVD人数为0；
得到1张DVD人数为6；
得到2张DVD人数为54；
得到3张DVD人数为940；
比率分别为0% , 0.6% , 5.4% , 94% 。
表4 前30位会员获得DVD的情况
名称
客户 分配 用户获得的第1张DVD (该张偏爱度) 用户获得的第2张DVD (该张偏爱度) 用户获得的第3张DVD (该张偏爱度)
C0001 D008（1） D041（7） D098（3）
C0002 D006（1） D044（2） D062（4）
C0003 D032（4） D050（2） D080（1）
C0004 D007（1） D018（2） D041（3）
C0005 D011（3） D066（1） D068（2）
C0006 D019（1） D053（2） D066（4）
C0007 D008（2） D026（3） D081（1）
C0008 D031（4） D035（5）
C0009 D053（1） D078（3） D100（2）
C0010 D055（2） D060（1） D085（3）
C0011 D059（1） D063（2） D066（4）
C0012 D002（2） D031（1） D041（7）
C0013 D021（3） D078（2） D096（1）
C0014 D023（2） D052（1） D029（6）
C0015 D013（1） D066（9） D085（3）
C0016 D055（9） D084（1） D097（2）
C0017 D047（2） D051（3） D067（1）
C0018 D044（1） D060（2） D078（3）
C0019 D066（4） D084（1） D086（2）
C0020 D045（1） D061（3） D089（2）
C0021 D045（2） D050（5） D053（1）
C0022 D038（3） D055（2） D057（1）
C0023 D029（2） D081（3） D095（1）
C0024 D037（4） D041（2） D076（1）
C0025 D009（1） D069（2） D081（4）
C0026 D022（1） D068（2） D095（3）
C0027 D050（4） D058（1） D078（7）
C0028 D008（1） D034（2）
C0029 D026（4） D030（2） D055（1）
C0030 D037（2） D062（1） D098（5）
经计算，前30位会员的标准满意度为92.0%，获得3张DVD的比率为93.3%，也就是93.3%的会员能够得到他想看的DVD。
3、问题三模型的建立以及求解：
为了利用题目中表2给出的数据，给出一种合理的购买方案，我们分两次完成购买方案。
第一阶段购买方案：
设 表示针对第 个会员的需求所选取的购买方案，则购买方案矩阵为:
(22)
其中 。
因为有60%的会员每月会租赁DVD两次，而另外40%的会员每月只租赁一次，因此我们假设一个月会有两次订单，其中题目所给出的表2作为第一次订单，首先利用表2的数据给出第一阶段购买方案。在购买中，保证95%的会员得到他想看的DVD，即95%的会员得到他订单中的3张，同时要使他们的满意度最大，另外网站希望购买的DVD张数越少越好，基于上述要求，我们给出如下模型：
(23)
由上述目标函数及约束条件可以看到，这个整数规划有多个解，这些解是从1000个人中任取950人，对于950人中的每一个人选取其偏爱程度分别为1，2，3的三张DVD。最后统计一下每张DVD被950人选为偏爱程度为1，2，3的总数，则可得到该张DVD购买的数目。
第二阶段购买方案：
网站为了满足95%的人的需求，根据60%的人本月内的第二次租赁订单，进行第二次购买。题中没有给出60%的人第二次租赁的订单，我们将利用题目中的表2，随机选取600（ ）位会员的在线订单，作为第二次租赁订单。为了便于数学符号上的处理，不失一般性，我们不妨选择1000会员中的前600个会员的订单作为第二次订单。因为这600个会员在第一阶段购买方案中已经满足了他们偏爱程度编号为1，2，3的DVD的需求，所以在第二次订单中他们偏爱程度编号为1，2，3的DVD的需求应记为0（否则，因为目标函数是满意度最大，所以最后得出的还是偏爱程度编号为1，2，3的DVD的需求），则第二次订单中各会员相应的满意度为 ，
(24)
其中 ， ，也就是说，如果第 个会员在第一次分配到第 张DVD时，则在第二次分配中，第 个会员对第 张DVD的满意度为0。
设 表示根据第二次租赁订单第 个人的需求网站采购DVD碟片的方案。则第二次购买DVD碟片方案矩阵为：
(25)
在第二次分配中，当第 个会员得到其偏爱程度为4、5和6的3张DVD时，他是最满意的，其满意度为 ，由此可以得到第 个会员的标准化满意度为：
(26)
为了使所有的会员获得比较大的满意度，只要使他们的满意度和达到最大，由此可以得到目标函数为：
(27)
网站在第二次确定购买方案时，一方面需要考虑第一步采购时所有的相关问题，同时还需要考虑第一次租赁后还回来的DVD的再次利用，因而可以得到如下模型：
(28)
此模型的解法类似于第一阶段购买方案模型的解法。
综上所述两步，则可以得到网站购买DVD数量的方案为：
(29)
其中 ， 表示网站购买第 张DVD的数量。
在前面按照百分比（95%及60%）选取会员时，为了便于数学上的处理，我们选取了1000人中的前950人以及前600人这种处理方法过于简单，但由于这种选取方法的多样性，在数学记号以及计算上都会产生较大的复杂性。因而为了避免这种复杂性以及前面处理方法的简单性，以下我们将用数学期望的办法解决购买方案问题。
设 为1000名会员中第 张DVD偏爱程度为1，2和3的总人数，其中 ，则 为会员租赁第 张DVD偏爱度为1，2和3的频率（概率的近似值）。因而950人租赁第 张DVD偏爱度为1，2和3人数的均值为：
(30)
用类似的方法，我们也可以得到600人中选取第 张DVD偏爱程度为4，5或6人数的均值。同时计算这600人中选取第 张DVD偏爱程度为1，2或3人数的均值，这个均值表示第 张DVD可以被重复利用，因而在购买时可以从第 张DVD偏爱程度为4，5或6人数的均值中减去这些可以再次利用的数量。这样按照均值的方法，购买DVD的方案见表5（在均值情况下的购买总量为2996张）。
表5 均值方法得到的购买方案
DVD DVD1 DVD2 DVD3 DVD4 DVD5 DVD6 DVD7 DVD8 DVD9 DVD10
购买量 26 34 30 36 26 31 29 31 33 29
DVD DVD11 DVD12 DVD13 DVD14 DVD15 DVD16 DVD17 DVD18 DVD19 DVD20
购买量 29 29 27 29 26 35 33 29 30 35
DVD DVD21 DVD22 DVD23 DVD24 DVD25 DVD26 DVD27 DVD28 DVD29 DVD30
购买量 32 29 33 27 27 29 28 24 25 38
DVD DVD31 DVD32 DVD33 DVD34 DVD35 DVD36 DVD37 DVD38 DVD39 DVD40
购买量 33 33 29 29 34 32 26 30 28 27
DVD DVD41 DVD42 DVD43 DVD44 DVD45 DVD46 DVD47 DVD48 DVD49 DVD50
购买量 48 35 30 33 38 27 29 27 29 32
DVD DVD51 DVD52 DVD53 DVD54 DVD55 DVD56 DVD57 DVD58 DVD59 DVD60
购买量 38 26 29 26 29 33 28 27 31 32
DVD DVD61 DVD62 DVD63 DVD64 DVD65 DVD66 DVD67 DVD68 DVD69 DVD70
购买量 27 32 30 35 31 36 31 33 32 31
DVD DVD71 DVD72 DVD73 DVD74 DVD75 DVD76 DVD77 DVD78 DVD79 DVD80
购买量 34 32 23 29 27 24 26 30 29 29
DVD DVD81 DVD82 DVD83 DVD84 DVD85 DVD86 DVD87 DVD88 DVD89 DVD90
购买量 31 23 21 23 31 25 32 23 27 31
DVD DVD91 DVD92 DVD93 DVD94 DVD95 DVD96 DVD97 DVD98 DVD99 DVD100
购买量 37 29 27 28 38 23 32 32 23 32
基于上述两种方法，可以得到网站购买DVD的数量，在此基础上，利用问题二中的分配DVD的模型，可以得到相应的分配方案。
对于上述两种购买方案，与原有DVD拥有的数量相比，哪一种方案更好呢？我们从三个方面比较了这三种购买方案的优劣性（见表6）。
表6 第一次订单三种方案优劣性的比较
问题二中的原来拥有量的分配方案 问题三第一种方法得到购买量的分配方案 问题三均值方法得到购买量的分配方案
标准满意度 89.13％ 99.82％ 99.38％
获得3张DVD的比率 94％ 100％ 99.6％
购买DVD的总数 3007 3094 2996
从表可以看到，均值方法得到的购买方案在分配过程中，标准满意度、获得三张DVD的比例以及购买DVD的总数都比较好一些。
假设前600个人进行了第二次租赁，表7给出了在三种不同购买量的情形下600人分配的结果比较。
表7 600人第二次订单三种方案优劣性的比较
问题二中的原来拥有量的分配方案 问题三第一种方法得到购买量的分配方案 问题三均值方法得到购买量的分配方案
标准满意度 95.76% 99.31% 99.7%
获得3张DVD的比率 61.83％ 100％ 99.83％
购买DVD的总数 3007 3094 2996
4、问题四的求解
作为一名网络的经营者，在经营过程中，主要考虑以下几个方面的问题：对新出的DVD进行市场需求预测；利用市场预测选取购买方案，最后按在线会员的订单进行合理分配。在这个过程中，我们追求获得最大化收益。因而一方面减少购买DVD所需的成本，另一方面最大化满足各会员的需求。以下将详细描述这个过程的相关模型。
（1）在市场需求预测方面，可以采取多种方法，以便得到较为准确的市场信息。
第一，简单随机抽样。也就是通过网站进行随机问卷调查，由此可以掌握人们对此DVD是否观看的相应概率，并且利用此概率来推测会员的需求信息。
第二，分类预测。由于人们在选看DVD时，人的年龄、知识水平、宗教信仰等都会影响他们的兴趣。因而，我们要将DVD进行分类，同时利用会员信息预测对该DVD感兴趣的人群数量。
第三，关联预测。一个导演会有多部片子，一个演员也会出演很多部片子，他们都会有很多自己的影迷，因而我们可以通过网站以前关于该导演的片子或该演员出演的片子感兴趣的人群预测下一部某导演或某演员的片子的市场需求。
（2）利用市场需求预测的相关信息对购买方案进行指导。一方面减少DVD的购买量，另一方面最大化满足各会员的需求。在这个过程中，除了题目中所考虑的约束问题之外，我们还需要关注DVD的价格，DVD的重复利用率，新加入会员人群的潜在性影响等。
设某张DVD的价格为 ，根据第一步的市场需求分析，可以得到该张DVD被可能租赁的概率为 （频率是概率的近似值）。由网站统计的规律可知，每个会员都有60％的可能性借两次，40％的可能性借一次，类似于问题一的分析，只需总量的70％就可以满足要求。
同时，我们也可以通过网站以前的数据得到会员使用DVD的时间（从租到归还）的概率分布律为：
1天 2天
30天
如果会员使用DVD的时间为 天，则这类会员所使用的DVD可以重复利用的次数为 ，因而该DVD在这样的概率分布下，可以重复利用次数的数学期望为：
(31)
设在线会员人数为 ，在一个月内，新加入会员的潜在可能性为 ，网站需要考虑满足 的会员的要求，同时以可靠度为 ，使得 的会员看到想看的DVD，也就是以概率为 可以使得 的会员看到想看的DVD，则网站应该购买的DVD数量为：
（32）
（3）在分配过程中，可以充分考虑会员在一个月内还回来的DVD的重复利用率，由式（31）可知，每张DVD的可以重复利用的次数为： ，该网站拥有第 张DVD的数量为 ，则在分配中，该DVD的数量可以被认定为： ，其中 。综上所述，得如下模型：
（33）
， 表示第 个会员对分配到第 张DVD的满意度。此模型的求解与问题二模型求解类似。
五、结果分析与检验
（1）关于满意度的讨论
分析表格2数据可知，分配结果满足满意程度公式，计算出来的满意程度为94.5%，由于我们考虑的满意程度测量标准选取的是会员对各种DVD的偏爱程度的倒数，它不是一组具有线行关系的量，当会员对一种 DVD 的偏爱程度越大，那相临级别的满意程度相差量越来越小，这样会使最后求出的总的满意程度在意义表达上不是均匀分布的。如果按照偏爱程度1到10，反过来对应10到1表示满意程度，那么所计算出来的满意程度在数值上，也就是在100个单位长度内使均匀分布的。由于前者的随着偏爱程度增大，它的满意程度差别就越来越小，而后者始终使均匀分布，即就是说，同样是数值95%，前者实际的满意程度大于后者的满意程度。
（2）结果合理性
由问题一的检验结果看到，要使95%的会员看到自己想租赁的DVD的可靠度依次增大的时候，网站所需购买的DVD的数目也随着增大，这是符合实际情况的。
问题三我们除了用表中数据的期望值来求解，还随机选取了600个会员的数据作为一组随机变量验证模型的正确性，结果是很满意的。
六、模型的优缺点
优点：
（1）我们建立了一个概率模型，引入了数学期望，较好的解决了会员对DVD需求数量的预测，使模型得到简化，进而能够在计算机上得到满意的解。
（2）对于满意程度的表示，我们采取了将表2中的偏爱程度取倒数，使得会员满意程度的描述有依据，显得比较合理，避免了线性取值带来的较大误差。
（3）本模型在随机分布的基础上，建立关于DVD分配情况的矩阵，以及各会员的针对各种DVD的满意程度矩阵，使得问题的描述比较清晰。
（4）问题三我们采用Excel工作表上作业方式，这样减少数据的导入，导出，并且统计出每种DVD网站需要购买的均值和网站需要购买的最大值，在此基础上进行分配，并且与问题二分配结果进行比较，在三种方案的比较下，我们选取以均值方式购买每种DVD的方案。
缺点：
在进行问题三的求解时，我们仅选取前600位客户作为分析对象，这样虽然避免大的计算量，但是使结果的误差变大。而且，表2所给出的仅仅是一个网站某一次会员订单的数据，由于数据量不够充足，使得我们所求的数学期望就显得有些粗略。在实际中，租赁分配又是一个复杂的数学问题，存在着大量的不确定性，例如：网站会员数目、会员对不同DVD的偏爱程度、会员的租赁时间、租赁的DVD的数目以及还回的时间等等，所以我们的模型就会有一定程度的偏差。
参考文献：
[1]田铮 肖华勇，《随机数学基础》，北京：高等教育出版社，2005年；
[2]刘金兰 朱晓杨,《顾客满意度指标重要性测量的主成分分析与多元回归方法》，天津大学学报，16卷，2期，P159-163，2004年4月；
[3]姜启源 谢金星 叶俊，《数学模型》，北京：高等教育出版社，2004年；
[4]吴祈宗，《运筹学与最优化方法》 北京：机械工业出版社，2003年；
[5]李继成，《数学实验》，西安：西安交通大学出版社，2003年；
[6]麻志毅（译），《C语言解析教程》，北京：机械工业出版社，2000年
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数学建模--教学楼人员疏散--获校数学建模二等
数学建模
人员疏散
本题是由我和我的好哥们张勇还有我们区队的学委谢菲菲经过数个日夜的精心准备而完成的,指导老师沈聪.
摘要
文章分析了大型建筑物内人员疏散的特点，结合我校1号教学楼的设定火灾场景人员的安全疏散，对该建筑物火灾中人员疏散的设计方案做出了初步评价，得出了一种在人流密度较大的建筑物内，火灾中人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法，并提出了采用距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程来分析和计算建筑物的人员疏散。
关键字
人员疏散 流体模型 距离控制疏散过程
问题的提出
教学楼人员疏散时间预测
学校的教学楼是一种人员非常集中的场所，而且具有较大的火灾荷载和较多的起火因素，一旦发生火灾，火灾及其烟气蔓延很快，容易造成严重的人员伤亡。对于不同类型的建筑物，人员疏散问题的处理办法有较大的区别，结合1号教学楼的结构形式，对教学楼的典型的火灾场景作了分析，分析该建筑物中人员疏散设计的现状，提出一种人员疏散的基础，并对学校领导提出有益的见解建议。
前言
建筑物发生火灾后，人员安全疏散与人员的生命安全直接相关，疏散保证其中的人员及时疏散到安全地带具有重要意义。火灾中人员能否安全疏散主要取决于疏散到安全区域所用时间的长短，火灾中的人员安全疏散指的是在火灾烟气尚未达到对人员构成危险的状态之前,将建筑物内的所有人员安全地疏散到安全区域的行动。人员疏散时间在考虑建筑物结构和人员距离安全区域的远近等环境因素的同时，还必须综合考虑处于火灾的紧急情况下，人员自然状况和人员心理这是一个涉及建筑物结构、火灾发展过程和人员行为三种基本因素的复杂问题。
随着性能化安全疏散设计技术的发展，世界各国都相继开展了疏散安全评估技术的开发及研究工作，并取得了一定的成果(模型和程序)，如英国的CRISP、EXODUS、STEPS、Simulex，美国的ELVAC、EVACNET4、EXIT89，HAZARDI，澳大利亚的EGRESSPRO、FIREWIND，加拿大的FIERA system和日本的EVACS等，我国建筑、消防科研及教学单位也已开展了此项研究工作，并且相关的研究列入了国家“九五”及“十五”科技攻关课题。
一般地，疏散评估方法由火灾中烟气的性状预测和疏散预测两部分组成，烟气性状预测就是预测烟气对疏散人员会造成影响的时间。众多火灾案例表明，火灾烟气毒性、缺氧使人窒息以及辐射热是致人伤亡的主要因素。
其中烟气毒性是火灾中影响人员安全疏散和造成人员死亡的最主要因素，也就是造成火灾危险的主要因素。研究表明：人员在CO浓度为4X10-3浓度下暴露30分钟会致死。
此外，缺氧窒息和辐射热也是致人死亡的主要因素，研究表明：空气中氧气的正常值为21％，当氧气含量降低到12％～15％时，便会造成呼吸急促、头痛、眩晕和困乏，当氧气含量低到6％～8％时，便会使人虚脱甚至死亡；人体在短时间可承受的最大辐射热为2.5kW／m2(烟气层温度约为200℃)。
图1 疏散影响因素
预测烟气对安全疏散的影响成为安全疏散评估的一部分，该部分应考虑烟气控制设备的性能以及墙和开口部对烟的影响等；通过危险来临时间和疏散所需时间的对比来评估疏散设计方案的合理性和疏散的安全性。疏散所需时间小于危险来临时间，则疏散是安全的，疏散设计方案可行；反之，疏散是不安全的，疏散设计应加以修改，并再评估。
图2 人员疏散与烟层下降关系(两层区域模型)示意图
疏散所需时间包括了疏散开始时间和疏散行动时间。疏散开始时间即从起火到开始疏散的时间，它大体可分为感知时间(从起火至人感知火的时间)和疏散准备时间(从感知火至开始疏散时间)两阶段。一般地，疏散开始时间与火灾探测系统、报警系统，起火场所、人员相对位置，疏散人员状态及状况、建筑物形状及管理状况，疏散诱导手段等因素有关。
疏散行动时间即从疏散开始至疏散结束的时间，它由步行时间(从最远疏散点至安全出口步行所需的时间)和出口通过排队时间(计算区域人员全部从出口通过所需的时间)构成。与疏散行动时间预测相关的参数及其关系见图3。
图3 与疏散行动时间预测相关的参数及其关系
模型的分析与建立
我们将人群在1号教学楼内的走动模拟成水在管道内的流动，对人员的个体特性没有考虑，而是将人群的疏散作为一个整体运动处理，并对人员疏散过程作了如下保守假设：
u 疏散人员具有相同的特征，且均具有足够的身体条件疏散到安全地点；
u 疏散人员是清醒状态，在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散，且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径；
u 在疏散过程中，人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配，即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配
u 人员从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变。
以上假设是人员疏散的一种理想状态，与人员疏散的实际过程可能存在一定的差别，为了弥补疏散过程中的一些不确定性因素的影响，在采用该模型进行人员疏散的计算时，通常保守地考虑一个安全系数，一般取1．5～2，即实际疏散时间为计算疏散时间乘以安全系数后的数值。
1号教学楼平面图
教学楼模型的简化与计算假设
我校1号教学楼为一幢分为A、B两座，中间连接着C座的建筑（如上图），A、B两座为五层，C座为两层。A、B座每层有若干教室，除A座四楼和B座五楼，其它每层都有两个大教室。C座一层即为大厅，C座二层为几个办公室，人员极少故忽略不考虑，只作为一条人员通道。为了重点分析人员疏散情况，现将A、B座每层楼的10个小教室（40人）、一个中教室（100）和一个大教室（240人）简化为6个教室。
图4 原教室平面简图
在走廊通道的1/2处，将1、2、3、4、5号教室简化为13、14号教室，将6、7、8、9、10号教室简化为15、16号教室。此时，13、14、15、16号教室所容纳的人数均为100人，教室的出口为距走廊通道两边的1/4处，且11、13、15号教室的出口距左楼梯的距离相等，12、14、16号教室的出口距右楼梯的距离相等。我们设大教室靠近大教室出口的100人走左楼梯，其余的140人从大教室楼外的楼梯疏散，这样让每一个通道的出口都得到了利用。由于1号教学楼的A、B两座楼的对称性，所以此简图的建立同时适用于1号教学楼A、B两座楼的任意楼层。
图5 简化后教室平面简图
经测量，走廊的总长度为44米，走廊宽为1.8米,单级楼梯的宽度为0.3米,每级楼梯共有26级,楼梯口宽2.0米,每间教室的面积为125平方米. 则简化后走廊的1/4处即为教室的出口，距楼梯的距离应为44/4=11米。
对火灾场景做出如下假设:
u 火灾发生在第二层的15号教室;
u 发生火灾是每个教室都为满人,这样这层楼共有600人;
u 教学楼内安装有集中火灾报警系统,但没有应急广播系统;
u 从起火时刻起,在10分钟内还没有撤离起火楼层为逃生失败;
对于这种场景下的火灾发展与烟气蔓延过程可用一些模拟程序进行计算,并据此确定楼内危险状况到来的时间.但是为了突出重点,这里不详细讨论计算细节.
人员的整个疏散时间可分为疏散前的滞后时间,疏散中通过某距离的时间及在某些重要出口的等待时间三部分,根据建筑物的结构特点,可将人们的疏散通道分成若干个小段。在某些小段的出口处,人群通过时可能需要一定的排队时间。于是第i 个人的疏散时间ti 可表示为:
式中, ti,delay为疏散前的滞后时间,包括觉察火灾和确认火灾所用的时间; di,n为第n 段的长度; vi,n 为该人在第n 段的平均行走速度;Δtm,queue 为第n 段出口处的排队等候时间。最后一个离开教学楼的人员所有用的时间就是教学楼人员疏散所需的疏散时间。
假设二层的15号教室是起火房间,其中的人员直接获得火灾迹象进而马上疏散,设其反应的滞后时间为60s;教学内的人员大部分是学生,火灾信息将传播的很快,因而同楼层的其他教室的人员会得到15号教室人员的警告,开始决定疏散行动.设这种信息传播的时间为120s,即这批人的总的滞后时间为120+60=180秒;因为左右两侧为对称状态,所以在这里我们就计算一面的.一、三、四、五层的人员将通过火灾报警系统的警告而开始进行疏散,他们得到火灾信息的时间又比二层内的其他教室的人员晚了60秒.因此其总反应延迟为240秒.由于火灾发生在二楼,其对一层人员构成的危险相对较小,故下面重点讨论二,三,四,五楼的人员疏散.
为了实际了解教学楼内人员行走的状况,本组专门进行了几次现场观察,具体记录了学生通过一些典型路段的时间。参考一些其它资料[1、2、3] ,提出人员疏散的主要参数可用图6 表示。在开始疏散时算起,某人在教室内的逗留时间视为其排队时间。人的行走速度应根据不同的人流密度选取。当人流密度大于1 人/ m2时,采用0. 6m/ s 的疏散速度,通过走廊所需时间为60s ,通过大厅所需时间为12s ;当人流密度小于1 人/m2 时,疏散速度取为1. 2m/ s ,通过走廊所需时间为30s ,通过大厅所需时间为6s。
图6 人员疏散的若干主要参数
Pauls[4]提出,下楼梯的人员流量f 与楼梯的有效宽度w 和使用楼梯的人数p 有关,其计算公式为:
式中,流量f 的单位为人/ s , w 的单位为mm。此公式的应用范围为0. 1 < p/ w < 0. 55 。
这样便可以通过流量和室内人数来计算出疏散所用时间。出口的有效宽度是从通道的实际宽度里减去其两侧边界层而得到的净宽度,通常通道一侧的边界层被设定为150mm。
3 结果与讨论
在整个疏散过程中会出现如下几种情况:
(1) 起火教室的人员刚开始进行疏散时,人流密度比较小,疏散空间相对于正在进行疏散的人群来说是比较宽敞的,此时决定疏散的关键因素是疏散路径的长度。现将这种类型的疏散过程定义为是距离控制疏散过程;
(2) 起火楼层中其它教室的人员可较快获得火灾信息,并决定进行疏散,他们的整个疏散过程可能会分成两个阶段来进行计算: 当f进入2层楼梯口流出2层楼梯口时, 这时的疏散就属于距离控制疏散过程;当f进入2层楼梯口> f流出2层楼梯口时, 二楼楼梯间的宽度便成为疏散过程中控制因素。现将这种过程定义为瓶颈控制疏散过程;
(3) 三、四层人员开始疏散以后,可能会使三楼楼梯间和二楼楼梯间成为瓶颈控制疏散过程;
(4) 一楼教室人员开始疏散时,可能引起一楼大厅出口的瓶颈控制疏散过程;
(5) 在疏散后期,等待疏散的人员相对于疏散通道来说,将会满足距离控制疏散过程的条件,即又会出现距离控制疏散过程。
起火教室内的人员密度为100/ 125 = 0.8 人/m2 。然而教室里还有很多的桌椅,因此人员行动不是十分方便,参考表1 给出的数据,将室内人员的行走速度为1.1m/ s。设教室的门宽为1. 80m。而在疏散过程中,这个宽度不可能完全利用,它的等效宽度,等于此宽度上减去0. 30m。则从教室中出来的人员流量f0为:
f0=v0×s0×w0=1.1×0.8×4.7=4.1(人/ s) (3)
式中, v0 和s0 分别为人员在教室中行走速度和人员密度, w0 为教室出口的有效宽度。按此速度计算,起火教室里的人员要在24.3s 内才能完全疏散完毕。
设人员按照4.1 人/ s 的流量进入走廊。由于走廊里的人流密度不到1 人/ m2 ,因此采用1. 2m/s的速度进行计算。可得人员到达二楼楼梯口的时间为9.2s。在此阶段, 将要使用二楼楼梯的人数为100人。此时p/ w=100/1700=0.059 < 0. 1 , 因而不能使用公式2 来计算楼梯的流量。采用Fruin[5]提出的人均占用楼梯面积来计算通过楼梯的流量。根据进入楼梯间的人数,取楼梯中单位宽度的人流量为0.5人 /(m. s) ,人的平均速度为0. 6m/ s ,则下一层楼的楼梯的时间为13s。这样从着火时刻算起,在第106.5s(60+24.3+9.2+13)时,着火的15号教室人员疏散成功。以上这些数据都是在距离控制疏散过程范围之内得出的。
起火后120s ,起火楼层其它两个教室（即11和13号教室）里的人员开始疏散。在进入该层楼梯间之前,疏散的主要参数和起火教室中的人员的情况基本一致。在129.2s他们中有人到达二层楼梯口,起火教室里的人员已经全部撤离二楼大厅。因此,即将使用二楼楼梯间的人数p1 为:
p1 = 100 ×2 = 200 (人) (4)
此时f进入2层楼梯口>f流出2层楼梯口,从该时刻起,疏散过程由距离控制疏散过渡到由二楼楼梯间瓶颈控制疏散阶段。由于p/ w =200/1700= 0.12 ,可以使用公式2 计算二楼楼梯口的疏散流量f1 , 即:
?/P>
0.27
0.73
f1 = (3400/ 8040) × 200 = 2.2人/ s) (5)
式中的3400 为两个楼梯口的总有效宽度,单位是mm。而三、四层的人员在起火后180s 时才开始疏散。三层人员在286.5s(180+106.5)时到达二层楼梯口,与此同时四层人员到达三层楼梯口,第五层到达第四层楼梯口。此时刻二层楼梯前尚等待疏散人员数p′1:
p′1 = 200 - (286.5 – 129.2) ×2.2 = -146.1(人) <0 (6)
所以，二层楼的人员已经全部到达一层
此后,需要使用二层楼梯间的人数p2 :
p2 = 100×3=300 (人) (7)
相应此阶段通过二楼楼梯间的流量f 2 :
0.27
0.73
f2 = (3400/8040) × 200 = 2.5(人/ s) (8)
这┤送ü楼楼梯的疏散时间t1 :
t1 = 300÷2.5 = 120 ( s) (9)
因为教学楼三、四、五层的结构相同，所以五层到四层，四层到三层和三层到二层所用的时间相等，因此人员的疏散在楼梯口不会出现瓶颈现象
所以,通过二楼楼梯的总体疏散时间T :
T = 286.5+ 120×3 = 646.5 ( s) (10)
最终根据安全系数得出实际疏散时间为T实际:
T实际 =646.5×(1.5～2)=969.75～1293( s) （11）
图7 二楼楼梯口流量随时间的变化曲线图
关于几点补充说明：
以上是我们只对B座二楼的15号教室起火进行的假设分析和计算，此时当人员到达一楼即视为疏散成功。同理，当三楼起火的时候，人员到达二楼即视为疏散成功，四楼、五楼以此类推。因为1号教学楼A、B座结构的对称性所以楼层的其他教室起火与此是同一个道理。所以本文上述的分析与计算同时适用于A、B两座楼。另外当三层以上（包括三楼）起火的时候，便体现出C座二楼的作用。当B座的三楼起火的时候，B座二楼的人员肯定是在B座三楼人员后对起火做出应对反应，所以会出现当三楼人员疏散到二楼的时候，二楼的人员也开始疏散的情况，势必造成二楼楼梯口出现瓶颈现象。因为A、B座的三、四、五楼并没有连接，都是独立的结构，出现火灾不会直接从B座的三楼威胁到A座三楼及其他楼层人员的安全，所以为了避免上述二楼楼梯口出现瓶颈现象的发生，我们让二楼的所有人员向A座的二楼转移，这样就会让起火楼层的人员能够更快的疏散到安全区域。当B座的四、五楼起火的时候也同样让二楼的人员向A座的二楼转移，为二楼以上的人员疏散创造条件。同理，A座也是如此。
在对火灾假设分析和计算的时候，我们并没有对大教室的后门楼梯的疏散做出计算，由于1号教学楼的特殊性，A座的四楼和B座的五楼没有大教室，所以大教室的后门楼梯疏散人员的速度是很快的，不会在大教室后门的楼梯出现瓶颈现象。
关于1号教学楼的几个出口：
u 大厅有一个大门
u A座一楼靠近正厅有一个门
u A座大教室旁边有一个门
u B座中教室靠近大厅正门侧面的窗户可以作为一个应急出口
u A、B座的底层都有一个地下室（当烟气蔓延太快来不及疏散，受烟气威胁的时候可以作为一个逃生去向）
u A、B座大教室各有一个后门
合计： 8个出口
致校领导的一封信
尊敬的校领导，你们好。
针对我校1号教学楼，我们数学建模小组通过实际测量、建立模型、模型分析，得出如下结论：一旦1号教学楼发生火灾，人员有可能不能全部安全疏散。
以上的分析是按一种很理想的条件进行的,并没有进行任何修正。实际上人在火灾中的行为是很复杂的,尤其是没有经过火灾安全训练的人,可能会出现盲目乱跑、逆向行走等现象,而这也会延长总的疏散时间。
该模型在现阶段是一个人员疏散分析模型的基础,目前属于理论上的模型,以上的计算结果都是通过手算或文曲星计算得到的。模型中的人员行走速度是通过多次观察该教学楼内下课时人员的行走速度和参照Fru2in 给出的疏散时人员行走速度、NFPA 中给出的人员行走速度以及目前人员疏散模型中通用的计算速度等修正而得到的,具有较为广泛的通用性。而预测的疏散时间是根据建筑物的结构特点和人员行走速度而得到的,在计算疏散所用时间的时候在剔除疏散前人员的滞后时间(或称预移动时间) 外,所得到的时间是合理的。对于疏散前人员的滞后时间,参考T. J . Shields 等试验结论:75 %人员在听到火灾警报后的15～40 s 才开始移动,而整个疏散所用的时间为646.5 s。在该例中起火教室的反应滞后时间为60 s ,这是从开始着火时刻算起的。预移动时间与不同类型的建筑物、建筑物中人员的自身特点和建筑物中的报警系统有着很大的关系,它是一个很不确定的数值。本文中所用的预移动时间不到整个疏散过程中所用的时间的 10 %。二楼楼梯口流量随时间的变化曲线如图7所示。由上可知,二层以上的所有人通过二楼楼梯所需的时间为646.5 s ,这比前面设定的可用安全疏散时间要长,因而不能保证有关人员全部安全疏散出去。楼梯的宽度和大厅的正门显然是制约人员疏散的一个瓶颈。造成这种情况的基本原因是该教学楼的疏散通道安排不当，楼梯通道的宽度不够,对此可以适当增大楼梯的总宽度；或者在教学楼的每个分支上再修一个楼梯,则人员的疏散会更加的畅通；最好是分别在A座和B座新建一个象正门一样的出口，这样将大大的缓解了大厅正门疏散人员的压力，不至于造成大厅人员堵塞而影响楼上人员的疏散。另一方面，学校还应多增加一些消防设施，每个教室都该配备灭火器；学校还应加强学生消防意识的培养和教育，形式可以多样化、新颖化，比如做报告，上实践课，做消防演习等等。让他们了解一些消防逃生的常识，学会一些消防器材的使用，并让他们对自己所使用的教学楼有充分发认识和了解，一旦发生火灾好知道采取何种疏散方法才能在最短的时间内到达安全区域。
如果学校经费有限，也可以不花一分钱就可以消除这个消防隐患，就是合理安排上课的教室，避免每个楼层的所有教室都被用于上课。每层至少可以空出几个，这样就会大大的缓解人员疏散不利带来的危险。但是这样也有弊端，就是没有充分利用教室的使用价值，浪费资源。
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