如何证明函数单调性

1. 如何证明函数单调性

2. 证明函数单调性。

1、解：最直接的方法，设 x1 < x2 且属于区间【-1,0】，则 x2²  <  x1² 
    f（x1）- f（x2）=（√1-x1²）-（√1-x2²）
                  =1/[（√1-x1²）+（√1-x2²） ] [（1-x1²）-（1-x2²）]
                               =1/[（√1-x1²）+（√1-x2²） ] [ x2² - x1² ] < 0
       所以，f（x）=√1-x²在【-1，0】上是增函数。
2、解法同1，
   设 x1 < x2 且属于区间【1,正无穷】
    f（x1）- f（x2）=x1/（1+x1²）-x2/（1+x2²）
                  =[ x1（1+x2²）-x2（1+x1²）] / [（1+x2²）（1+x1²）] 
                                 =   （x1-x2）（1-x1x2） / [（1+x2²）（1+x1²）] < 0
       所以，f（x）=x/x²+1在【1，正无穷】上是减函数。

3. 证明函数单调性的方法

证明函数单调性的方法
第一种，最基本的: 定义求证法, 严格按单调性的定义套
第二种，最常用的：导数求证法。在规定的定义域内，导数为正单增，导数为负单减。
第三种，少用的：图形求证法。根据函数做图判断。

4. 怎样证明函数的单调性？

求函数的导函数，因为导函数是判断函数单调的重要条件（在此之前标注函数的定义域，有哪些不能取到的值）导函数大于零的定义域是单调递增 小于零的定义域内是单调递减

5. 如何证明函数单调性？

设x1,x2在范围内，且x1>x2
f(x1)-f(x2)>0，函数单调递减.反之，单调递增
或f(x1)/f(x2)>1单减，反之，单增

6. 如何证明函数是否有单调性

判断方法如下：
　　图象观察
　　如上所述，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增；
　　一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减；
　　注意：对于分段函数，要特别注意。例如，上图左可以说是一个增函数；上图右就不能说是在定义域上的一个增函数（在定义域上不具有单调性）。
　　定义证明
　　如果需要严格证明某区间上函数的单调性，则观察图象的方法就显得不太可靠了，因此需要用定义证明。
　　步骤：
　　任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1
0，则为增函数；若差<0，则为减函数）。
　　即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”。
　　一阶导数
　　如果函数y=f(x)在区间d内可导(可微)，若x∈d时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间d内单调增加；反之，若x∈d时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间d内单调减少。

7. 证明函数的单调性

假设定义域区间内两个任意自变量x1，x2，且x1<x2，
那么f(x1)=x1+a/x1+b,f(x2)=x2+a/x2+b
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(a/x1-a/x2)=(x1-x2)+a[(x2-x1)/x1x2]
因为x10，a>0
现在关键判断x1x2积的符号，可以分情况讨论
1）x10，f(x1)-f(x2)的正负性还无法判断
2）x1<0<x2，故x1x2<0，f(x1)-f(x2)<0，可见在此区间内函数单调递增
3）00，f(x1)-f(x2)的正负性还无法判断
综上可以看出在函数的单调区间内单调递增

8. 怎么证明一个函数的单调性？

函数的单调性（monotonicity）也可以叫做函数的增减性。
方法：
1、图象观察法
如上所述，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。因此，在某一区间内，一直上升的函数图象对应的函数在该区间单调递增；一直下降的函数图象对应的函数在该区间单调递减。
2、求导法
导数与函数单调性密切相关。它是研究函数的另一种方法，为其开辟了许多新途径。特别是对于具体函数，利用导数求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，利用导数求解函数单调性，要求熟练掌握基本求导公式。
如果函数y=f(x)在区间D内可导(可微)，若x∈D时恒有f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间D内单调增加；反之，若x∈D时，f'(x)<0,则称函数y=f(x)在区间D内单调减少。

扩展资料

判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2;
②作差△y=f(x1)-f(x2);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断△y的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)。
即为：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 下结论。
参考资料来源：百度百科-单调性