正态分布的均值和方差推导

1. 正态分布的均值和方差推导

不用二重积分的,可以有简单的办法的.
  设正态分布概率密度函数是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)] 
  其实就是均值是u,方差是t^2,百度不太好打公式,你将就看一下.
  于是：
  ∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*） 
  积分区域是从负无穷到正无穷,下面出现的积分也都是这个区域,所以略去不写了.
  （1）求均值 
  对（*）式两边对u求导：
  ∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0 
  约去常数,再两边同乘以1/(√2π)t得：
  ∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0 
  把(u-x)拆开,再移项：
  ∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx 
  也就是 
  ∫x*f(x)dx=u*1=u 
  这样就正好凑出了均值的定义式,证明了均值就是u.
  (2)方差 
  过程和求均值是差不多的,我就稍微略写一点了.
  对(*)式两边对t求导：
  ∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π 
  移项：
  ∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2 
  也就是 
  ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2 
  正好凑出了方差的定义式,从而结论得证.

2. 均值与标准差什么关系才符合正态分布

正态分布的公式为：


满足正太分布公式的均值与标准差即正太分布。

3. 为什么正态分布的充分统计量是均值和方差

求期望：ξ
期望：Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn
方差：s²
方差公式：s²=1/n[(x1-x)²+(x2-x)²+……+(xn-x)²]
注：x上有“-”
　　正态分布（Normal
distribution）又名高斯分布（Gaussian
distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ
=
0,σ
=
1的正态分布。

4. 怎样求正态分布的平均值与方差

要求正态分布的平均值和方差，需要先确定正态分布的概率密度函数。正态分布的概率密度函数为： f(x)= 1/(√(2π)σ) * e^(-((x-μ)^2)/(2σ^2)) 其中，μ 表示正态分布的平均值，σ 表示正态分布的标准差，π 是圆周率。 如果已知正态分布的概率密度函数，那么就可以很容易地求解正态分布的平均值和方差。 正态分布的平均值（mean）就是μ。 正态分布的方差（variance）是指数据分布离散程度的度量，用来衡量数据的分散程度。正态分布的方差是σ^2。 如果已知正态分布的数据样本，那么可以使用样本均值和样本方差来近似估计正态分布的平均值和方差。 样本均值（sample mean）是所有样本数据的平均值，公式为： x̄ = ∑(xi
/ n)
其中，x̄ 表示样本均值，xi 表示第 i 个样本数据，n 表示样本数量。
样本方差（sample variance）是指样本数据的离散程度的度量，用来衡量样本数据的分散程度。样本方差的公式为：
s^2 = ∑((xi-x̄)^2) / (n-1)
其中，s^2 表示样本方差，xi 表示第 i 个样本数据，x̄ 表示样本均值，n 表示样本数量。
样本均值和样本方差可以用来估计正态分布的平均值和方差，但是样本数量较小时，样本均值和样本方差的精确性会有所下降。因此，如果要求出精确的正态分布平均值和方差，应该使用正态分布的概率密度函数来求解。

5. 正态分布的均值与方差怎么算？

在正态分布中，均值是数据的中心位置，表示数据的平均值；方差是数据的离散程度，表示数据的分散程度。
计算正态分布的均值和方差的公式如下：
均值：μ = ∑x_i / n
方差： σ^2 = ∑(x_i - μ)^2 / (n - 1)
其中，x_i 表示样本中第 i 个数据，n 表示样本数据的个数，μ 表示均值，σ^2 表示方差。
例如，对于一组数据{3, 4, 5, 6, 7}，计算其均值和方差如下：
均值：μ = (3 + 4 + 5 + 6 + 7) / 5 = 5
方差： σ^2 = [(3 - 5)^2 + (4 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (6 - 5)^2 + (7 - 5)^2] / (5 - 1) = 2
因此，对于这组数据，均值为5，方差为2。

6. 为什么正态分布的样本均值也服从于正态分布

如果a，b相互独立，并且都服从正态分布，那么对于a,b的任意线性组合c1a+c2b(c1，c2均为常数)也服从正态分布，至于证明涉及高等数学里的知识，无非就是一个二重积分的计算问题，这里不好解释，而正太分布的每样本都独立，而均值是样本的一个线性组合，自然也就服从正态分布了。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。


扩展资料：
服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。（标准正态分布表：标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X（当前值）范围内的面积比例。）
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的期望、均数、中位数、众数相同，均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高。
参考资料来源：百度百科——正态分布

7. 正态分布如何计算一个区间内的数的平均值？

你好。求X大于12的所有数的平均值，相当于求正态分布的概率密度f(x)在x>12这个区间内图形的形心的横坐标。
那么，设形心的横坐标为X，则X=∫∫xf(x)dxdy/[∫∫f(x)dxdy]，积分区域就是x>12的f(x)与x轴围成的封闭图形。如果直接算，会比较困难，那么可以先把该正态分布标准化为标准正态分布，即(x-9)/2.5～N(0,1)，然后再计算重积分。具体步骤你自己来吧。你这个图形好像是用MATLAB画的，如果手算解不出来，那就敲代码解吧。

8. 简单正态分布，求均值和标准方差

1、先自己画图，平均车速就是概率为0.5的地方，可以看出来50在平均车速左边，70在右边；因为这个图关于X=平均值  对称，因此  平均车速=（70+50）/2=60
2、假设X～N(μ,σ^2),则Y=(X-μ)/σ～N(0,1).

因此有F((50-60）/σ）=0.15然后查表，算出σ
我想说F((50-60）/σ）你要懂啊，那个符号不会打啊……我没表，算不了，你得自己查查看